Calcule as integrais:
integral0^pi cos ^2012 x sen x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi cos^2012x,sin x,dx. O assunto principal é integração por substituição de variável, já que vemos sin x,dx junto com uma potência de cos x.

Passo 2

Começando a resolução, fazemos a substituição u=cos x. Como du=-sin x,dx, temos sin x,dx=-du. Em termos de limites, quando x=0 temos u(0)=cos0=1 e quando x=pi temos u(pi)=cospi=-1.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral0^pi cos^2012x,sin x,dx = -integral1^-1 u^2012,du
Invertendo os limites para ficar crescente:
-integral1^-1 u^2012,du = integral-1^1 u^2012,du

Passo 4

Observando que a função u^2012 é par (potência par), podemos escrever
integral-1^1 u^2012,du = 2integral0^1 u^2012,du

Passo 5

Basta agora calcular a integral simples:
integral0^1 u^2012,du = 12013
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$$
2\int_{0}^{1} u^{2012},du = \frac{2}{2013}.
$$

Resposta

22013

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