Nos exercícios 15 a 21 , estabelecer a integral que dá o comprimento de arco da curva dada.
20. y=raizx, 2 <= x<4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva y=√x no intervalo 2≤x≤4. O conteúdo é comprimento de arco de função y=f(x), cuja fórmula geral é L=integrala^braiz1+(f'(x))^2,dx. Vamos precisar calcular a derivada de y.

Passo 2

Temos y=√x= x^{1/2}, então a derivada é
y'=12 x^-1/2=12raizx
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(y')^2=14x,
e
1+(y')^2=1+14x=4x+14x,
e
raiz1+(y')^2=raiz4x+12raizx

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento de arco, obtemos a integral que dá o comprimento:

Passo 4

Resposta

[\int_{2}^{4}\frac{\sqrt{4x+1}}{2\sqrt{x}},dx]

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