Calcule as integrais:
integral0^pi4[cos (2 t) i+sen(2 t) j+t sen(t) k] d t

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral vetorial
cos(2t). O conteúdo é integração de funções escalares em cada componente do vetor, e vamos precisar saber integrar sin(2t), tsin(t) e usar integração por partes para .

Passo 2

Para a componente i:
A integral é
integral0^pi4cos(2t),dt
Usando integralcos(2t),dt=tfrac12sin(2t), temos
12sin(2t)|0^pi4=12[sin(tfracpi2)-sin(0)]=12[1-0]=12

Passo 3

Para a componente j:
A integral é
integral0^pi4sin(2t),dt
Usando integralsin(2t),dt=-tfrac12cos(2t), obtemos
-12cos(2t)|0^pi4=-12[cos(tfracpi2)-cos(0)]=-12[0-1]=12

Passo 4

Para a componente k:
A integral é
integral0^pi4tsin(t),dt
Fazendo integração por partes, seja u=t e dv=sin(t),dt. Então du=dt e v=-cos(t). Assim
integral tsin(t),dt=-tcos(t)+integralcos(t),dt=-tcos(t)+sin(t)
Avalia de 0 a pi4:
[-tcos(t)+sin(t)]0^pi4=[-pi4cdotraiz22+raiz22]-[0+0]=raiz22(1-pi4)

Passo 5

Juntando todas as componentes, o resultado da integral vetorial é
12,i+12,j+raiz22(1-pi4),k

Resposta

12,i+12,j+raiz22l(1-pi4r),k

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