Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
Passo 1
O problema pede a derivada de F(x) = (2x+1)(4x−1)^5 usando as regras de derivação de produto e de função composta. Vamos precisar da derivada de soma, da derivada de potência e da regra do produto e da cadeia.
Passo 2
Definimos u(x) = 2x+1 e v(x) = (4x−1)^5. Então u′(x) = 2. Para v(x) aplicamos a regra da cadeia: v(x) = g(h(x)) com g(t) = t^5 e h(x) = 4x−1. Temos g′(t) = 5t^4 e h′(x) = 4, logo v′(x) = 5(4x−1)^4 · 4 = 20(4x−1)^4.
Passo 3
Pela regra do produto F′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x). Assim obtemos:
F′(x) = 2·(4x−1)^5 + (2x+1)·20·(4x−1)^4.
F′(x) = 2·(4x−1)^5 + (2x+1)·20·(4x−1)^4.
Passo 4
Para simplificar, fatoramos (4x−1)^4 em ambas as parcelas:
F′(x) = (4x−1)^4 [2·(4x−1) + 20·(2x+1)].
F′(x) = (4x−1)^4 [2·(4x−1) + 20·(2x+1)].
Passo 5
No colchete calculamos 2·(4x−1) + 20·(2x+1) = 8x − 2 + 40x + 20 = 48x + 18 = 6·(8x+3). Portanto:
F′(x) = 6·(4x−1)^4·(8x+3).
F′(x) = 6·(4x−1)^4·(8x+3).
Resposta
F′(x) = 6·(4x−1)^4·(8x+3)