Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo

Passo 1

O enunciado dá a função G(x)=l(x^2-1r)^4(2-3x) e pede \u200banálise de derivada usando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Primeiro a gente identifica as duas funções que se multiplicam: f(x)=l(x^2-1r)^4 e g(x)=2-3x. A regra do produto diz que G'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x).

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=(u(x))^4 com u(x)=x^2-1. Temos u'(x)=2x e, portanto,
f'(x)=4,u(x)^3cdot u'(x)=4,(x^2-1)^3cdot2x=8x,(x^2-1)^3

Passo 4

A derivada de g(x)=2-3x é bem direta: g'(x)=-3

Passo 5

Substituindo em G'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x), obtemos:
G'(x)=8x,(x^2-1)^3,(2-3x)+(x^2-1)^4,(-3)

Passo 6

Para deixar mais enxuto, podemos fatorar (x^2-1)^3:
G'(x)=(x^2-1)^3l[8x(2-3x)-3(x^2-1)r]

Passo 7

Por fim, abrindo e juntando termos internos:
8x(2-3x)-3(x^2-1)=16x-24x^2-3x^2+3=-27x^2+16x+3,
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G'(x)=(x^2-1)^3,(-27x^2+16x+3)

Resposta

G'(x)=(x^2-1)^3,(-27x^2+16x+3)

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