Determinar os máximos e mínimos locais e globais das funções abaixo, nos intervalos indicados.
25.3) f(x)=|x-2|, [-2,3]

Passo 1

Temos a função f(x)=|x-2| no intervalo [-2,3]. O conteúdo aqui é análise de extremos de funções, e vamos precisar: reescrever a função em forma piecewise, encontrar pontos críticos (onde a derivada não existe ou é zero) e avaliar nos pontos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Para tratar o valor absoluto, reescrevemos f em dois ramos:
f(x)= 2 - x, & x < 2, x - 2, & x >= 2

Passo 3

Derivando cada ramo (onde é diferenciável) e identificando pontos críticos:
  • Para x<2: f'(x)=-1. Nunca é zero, não gera ponto interno.
  • Para x>2: f'(x)=1. Também nunca zero.
  • Em x=2 a derivada não existe (canto da peça), então x=2 é ponto crítico.
  • Além disso, consideramos as extremidades x=-2 e x=3.

Passo 4

Avaliamos f nos pontos candidatos:
f(-2)=|(-2)-2|=4, f(2)=|2-2|=0, f(3)=|3-2|=1

Passo 5

Classificamos:
  • Em x=2 o sinal de f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), então é mínimo local.
  • Nos extremos, como não temos vizinhos em ambos os lados, usamos comparação:
    x=-2: f(-2)=4 é maior que valores próximos, é máximo local.
    x=3: f(3)=1 é maior que f(2.9)=0.9, é máximo local.
  • Globalmente, o maior valor é 4 em x=-2 e o menor é 0 em x=2.

Resposta

Máximos locais em x=-2 com f(-2)=4 e em x=3 com f(3)=1; mínimo local em x=2 com f(2)=0; máximo global em x=-2 com f(-2)=4; mínimo global em x=2 com f(2)=0.

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