Determinar os máximos e mínimos locais e globais das funções abaixo, nos intervalos indicados.
25.3)
25.3)
Passo 1
Temos a função
no intervalo
. O conteúdo aqui é análise de extremos de funções, e vamos precisar: reescrever a função em forma piecewise, encontrar pontos críticos (onde a derivada não existe ou é zero) e avaliar nos pontos críticos e nas extremidades.
Passo 2
Para tratar o valor absoluto, reescrevemos
em dois ramos:
Passo 3
Derivando cada ramo (onde é diferenciável) e identificando pontos críticos:
- Para
: . Nunca é zero, não gera ponto interno. - Para
: . Também nunca zero. - Em
a derivada não existe (canto da peça), então é ponto crítico. - Além disso, consideramos as extremidades
e .
Passo 4
Avaliamos
nos pontos candidatos:
Passo 5
Classificamos:
- Em
o sinal de muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), então é mínimo local. - Nos extremos, como não temos vizinhos em ambos os lados, usamos comparação:
•: é maior que valores próximos, é máximo local.
•: é maior que , é máximo local. - Globalmente, o maior valor é
em e o menor é em .
Resposta
Máximos locais em
com
e em
com
; mínimo local em
com
; máximo global em
com
; mínimo global em
com
.