Calcule as integrais:
integral0^raizraiz3-1 2 xx^4+2 x^2+2 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^raizraiz3-1 2xx^4+2x^2+2,dx
O conteúdo principal aqui é reconhecimento de uma substituição do tipo u=x^2, seguida de completamento do quadrado no denominador para chegar a uma forma de derivada de arctan.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2, du = 2x,dx
Quando x=0, temos u=0. Quando x=raizraiz3-1, temos
u = l(raizraiz3-1r)^2 = raiz3-1
Assim
I = integralu=0^u=raiz3-1 1u^2+2u+2,du

Passo 3

Observamos que
u^2+2u+2 = (u+1)^2+1
Então a integral vira
I = integral0^raiz3-1 1(u+1)^2+1,du
Essa é a forma padrão de dfracddul[arctan(u+1)r].

Passo 4

Integrando, usamos
ddul[arctan(u+1)r] = 1(u+1)^2+1,
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I = arctan(u+1)|0^raiz3-1 = arctanl((raiz3-1)+1r);-;arctan(0+1)

Passo 5

Calculamos os valores:
arctanl((raiz3-1)+1r) = arctan(raiz3) = pi3,
arctan(1) = pi4
Portanto
I = pi3 - pi4 = pi12

Resposta

pi12

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