Calcule as integrais interadas.
integral1^2 integral0^2 z integral0^ln x x e^-z d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralz=1^2integralx=0^2zintegraly=0^ln x x,e^-z;dy;dx;dz
O conteúdo é integração múltipla e uso de Fubini para trocar ordem quando conveniente. Vamos primeiro executar a integração interna em y, depois avaliar a de x, e por fim a de z, trocando a ordem de integração para simplificar sempre que possível.

Passo 2

Integramos primeiro em y. Como x,e^-z não depende de y,
integraly=0^ln x x,e^-z;dy = x,e^-z,l[;y;r]0^ln x = x,e^-z,ln x
Assim a integral tripla vira
integralz=1^2integralx=0^2z x,e^-zln x;dx;dz

Passo 3

Observamos que, para 0<= x<1, ln x<0 mas a expressão é regular e podemos prosseguir. Vamos trocar a ordem de integração entre x e z. Note que a região em (x,z) é
1<= z<= 2, 0<= x<= 2z
Se fixamos x, temos z>= x/2 e também z>=1, e sempre z<=2. Assim
  • Para 1<= x<=2, x/2<=1, logo z varia de 1 a 2.
  • Para 2<= x<=4, x/2 cresce de 1 a 2, logo z varia de x/2 a 2.
    Portanto a integral torna-se
integralx=1^2integralz=1^2 x,ln x,e^-z;dz;dx ;+; integralx=2^4integralz=x/2^2 x,ln x,e^-z;dz;dx

Passo 4

Em cada parte a integral em z é elementar:
integralz=a^2e^-z;dz = l[-e^-zr]a^2 = e^-a-e^-2
Logo
integralx=1^2xln x,(e^-1-e^-2),dx ;+; integralx=2^4xln x,(e^-x/2-e^-2),dx

Passo 5

Separe em dois termos:
(e^-1-e^-2)integral1^2xln x,dx ;-; e^-2integral2^4xln x,dx ;+; integral2^4xln x,e^-x/2,dx

Passo 6

Calcule as integrais elementares
integral xln x,dx = x^22ln x-x^24+C
Assim
integral1^2xln x,dx =l[tfracx^22ln x-tfracx^24r]1^2 =2ln2-tfrac34,
integral2^4xln x,dx =l[tfracx^22ln x-tfracx^24r]2^4 =14ln2-3

Passo 7

Fica então
(e^-1-e^-2)(2ln2-tfrac34) ;-; e^-2(14ln2-3) ;+; integral2^4xln x,e^-x/2,dx

Passo 8

A parte restante
integral2^4xln x,e^-x/2dx
exige integração por partes e conduz a uma integral do tipo
integral1^2e^-ttdt,
que não se expressa em termos elementares, mas sim por funções especiais (no caso, a função exponencial integral). O resultado final pode ser escrito como
boxed 10,e^-1ln2 ;+;tfrac134,e^-1 ;-;40,e^-2ln2;-;tfrac14,e^-2 ;+; 4integral1^2e^-tt,dt

Resposta

10,e^-1ln2 + tfrac134e^-1 -40,e^-2ln2 -tfrac14,e^-2 +4integral1^2e^-tt,dt

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