Calcule as integrais interadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
O conteúdo é integração múltipla e uso de Fubini para trocar ordem quando conveniente. Vamos primeiro executar a integração interna em
, depois avaliar a de
, e por fim a de
, trocando a ordem de integração para simplificar sempre que possível.
Passo 2
Integramos primeiro em
. Como
não depende de
,
Assim a integral tripla vira
Passo 3
Observamos que, para
,
mas a expressão é regular e podemos prosseguir. Vamos trocar a ordem de integração entre
e
. Note que a região em
é
Se fixamos
, temos
e também
, e sempre
. Assim
- Para
, , logo varia de a . - Para
, cresce de a , logo varia de a .
Portanto a integral torna-se
Passo 4
Em cada parte a integral em
é elementar:
Logo
Passo 5
Separe em dois termos:
Passo 6
Calcule as integrais elementares
Assim
Passo 7
Fica então
Passo 8
A parte restante
exige integração por partes e conduz a uma integral do tipo
,
que não se expressa em termos elementares, mas sim por funções especiais (no caso, a função exponencial integral). O resultado final pode ser escrito como
exige integração por partes e conduz a uma integral do tipo
que não se expressa em termos elementares, mas sim por funções especiais (no caso, a função exponencial integral). O resultado final pode ser escrito como