Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resulto da Questão anterior.)
(a) an=cos (n)n
(b) an=n^2n^2+1 cdot e^-n
(c) an=arctan (n)1+n
(d) an=sin ^2(n^2)n^2

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular os limites de quatro sequências distintas. O conteúdo aqui é “limite de sequência” e vamos usar principalmente dois resultados básicos:
  1. Teorema do Produto de Limites (se unto L e vnto M, então un vnto LM).
  2. Teorema do Confronto/Sandwich (se 0<= xn<= yn e ynto0, então xnto0).
    Além disso, vamos lembrar que funções como e^-n vão a zero e que cos(n), sin(n), arctan(n) são limitadas ou têm limites clássicos fáceis de usar.

Passo 2

Item (a):
an=cos(n)n
– Teoria: cos(n) é limitada entre -1 e 1.
– Então l|tfraccos(n)nr|<= tfrac1n.
– Como tfrac1nto0 quando ntoinfty, pelo Teorema do Confronto a fração também vai a 0.
Logo limntoinftycos(n)n=0

Passo 3

Item (b):
an=n^2n^2+1;cdot;e^-n
– Teoria: n^2n^2+1to1 (é um quociente de polinômios de mesmo grau).
– E sabemos que e^-nto0.
– Pelo Teorema do Produto de Limites, 1cdot0=0.
Portanto limntoinftyn^2n^2+1,e^-n=0

Passo 4

Item (c):
an=arctan(n)1+n
– Teoria: arctan(n) é limitada e converge a tfracpi2.
– Também sabemos que tfrac1n+1to0.
– Logo podemos ver an=arctan(n)times1n+1. Como uma parte é limitada e a outra vai a zero, o produto vai a zero.
Assim limntoinftyarctan(n)1+n=0

Passo 5

Item (d):
an=sin^2(n^2)n^2
– Teoria: sin^2(n^2) varia entre 0 e 1, então
0<=sin^2(n^2)n^2<=1n^2
– Como tfrac1n^2to0, pelo Teorema do Confronto segue que tfracsin^2(n^2)n^2to0.
Logo limntoinftysin^2(n^2)n^2=0

Resposta

Em todos os itens (a), (b), (c) e (d), o limite da sequência é 0.

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