Calcule as integrais interadas.
integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1-z^2 zy+1 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! O enunciado pede para calcular uma integral tripla. Vamos abordar isso usando o conteúdo de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e como estabelecer os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral dada:
integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1-z^2 zy+1 , dz , dy , dx
Aqui, temos três integrais aninhadas, onde a ordem de integração é primeiro em relação a z , depois a y , e finalmente a x .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a z . A função que estamos integrando é zy+1 . Note que, para esta parte, y é considerado uma constante, já que estamos integrando em relação a z .
A integral em relação a z fica:
integral0^raiz1-z^2 zy+1 , dz
No entanto, há um problema aqui: o limite superior está em termos de z mesmo, o que não faz sentido. Isso provavelmente é um erro de digitação. Vamos supor que o limite superior seja raiz1 - x^2 , tornando a integral:
integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1 - x^2 zy+1 , dz , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos recalcular a integral com os limites corrigidos:
integral0^1 integral0^1 integral0^raiz1 - x^2 zy+1 , dz , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a z :
integral0^raiz1 - x^2 zy+1 , dz = 1y+1 integral0^raiz1 - x^2 z , dz

Passo 5

Calculando a integral de z em relação a z :
integral0^raiz1 - x^2 z , dz = [ z^22 ]0^raiz1 - x^2 = (raiz1 - x^2)^22 - 0 = 1 - x^22
Portanto, a integral inicial fica:
1y+1 cdot 1 - x^22 = 1 - x^22(y+1)

Passo 6

Agora, integramos em relação a y :
integral0^1 1 - x^22(y+1) , dy = 1 - x^22 integral0^1 1y+1 , dy
A integral de 1y+1 em relação a y é ln(y+1) :
1 - x^22 [ ln(y+1) ]0^1 = 1 - x^22 (ln 2 - ln 1) = 1 - x^22 ln 2
Como ln 1 = 0 , simplificamos para:
1 - x^22 ln 2

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a x :
integral0^1 1 - x^22 ln 2 , dx = ln 22 integral0^1 (1 - x^2) , dx
Vamos calcular a integral integral0^1 (1 - x^2) , dx :
integral0^1 1 , dx - integral0^1 x^2 , dx = [ x ]0^1 - [ x^33 ]0^1 = (1 - 0) - ( 13 - 0 ) = 1 - 13 = 23

Resposta

Multiplicando pelos fatores restantes:
ln 22 cdot 23 = ln 23
Portanto, o valor final da integral tripla é:
ln 23

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