Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo:
y^prime=2 y+e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' = 2y + e^x
O conteúdo é método do fator integrante, que nos permite encontrar a solução geral de equações da forma
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão
y' - 2y = e^x,
onde P(x) = -2 e Q(x) = e^x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^-2xy' - 2e^-2xy = e^-2xe^x = e^-x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto mu(x),y, ou seja,
ddxl(e^-2xyr) = e^-x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-2xy = integral e^-x,dx = -e^-x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por e^2x:
y = l(-e^-x + Cr)e^2x = -e^x + Ce^2x
Essa é a solução geral da equação.

Resposta

y(x) = Ce^2x - e^x, C in R

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