Determine as soluções das equações diferenciais lineares de 1a ordem abaixo:
y^prime-2 y=x^2 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 1ª ordem
y' - 2y = x^2 e^2x
Aqui o conteúdo é método do fator integrante. Vamos precisar identificar o fator integrante mu(x) e usar que
l(mu(x),y(x)r)' = mu(x),y'(x) + mu'(x),y(x)

Passo 2

Para achar o fator integrante mu(x) resolvemos
mu'(x) = -2,mu(x),
pois a equação tem a forma y' + p(x),y = q(x) com p(x)=-2. Logo
mu(x) = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=e^-2x, obtendo
e^-2xy' - 2e^-2xy = x^2
O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^-2xy, ou seja,
l(e^-2xyr)' = x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-2xy = integral x^2,dx = x^33 + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^2x:
y(x) = e^2xl(x^33 + Cr) = x^33e^2x + C,e^2x

Resposta

A solução geral é
y(x) = x^33e^2x + C,e^2x,
onde C é a constante arbitrária.

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