Calcule as integrais:
\int\left(2+\operatorname{sen} \frac{x}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int\bigl(2 + \sin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso da propriedade de linearidade de integrais e as primitivas de constante e de função seno, recorrendo a uma substituição simples para \sin(x/3).

Passo 2

Aplicamos a linearidade da integral, separando em duas partes:
\int\bigl(2 + \sin(\tfrac{x}{3})\bigr)\,dx = \int 2\,dx \;+\; \int \sin(\tfrac{x}{3})\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de 2:
\int 2\,dx = 2x.

Passo 4

Para \displaystyle \int \sin(\tfrac{x}{3})\,dx, usamos substituição \displaystyle u = \tfrac{x}{3}, logo \,du = \tfrac{1}{3}\,dx ou \,dx = 3\,du.
Substituindo:
\int \sin(\tfrac{x}{3})\,dx = \int \sin(u)\cdot 3\,du = 3\int \sin(u)\,du = -3\cos(u) = -3\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).

Passo 5

Somando as duas primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(2 + \sin(\tfrac{x}{3})\bigr)\,dx = 2x \;-\; 3\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

2x - 3\cos\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C

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