Resolva as equações diferenciais:
y^{\prime}=\frac{e^{2 x}}{4 y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = \frac{e^{2x}}{4\,y^3},
onde y'=dy/dx. Este é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e separando variáveis, obtemos
4\,y^3\,dy = e^{2x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int 4\,y^3\,dy \;=\;\int e^{2x}\,dx.

Passo 4

Calculando as integrais separadamente, temos
\int 4\,y^3\,dy = y^4 + C_1,
\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}\,e^{2x} + C_2.
Juntando as constantes C = C_2 - C_1, fica
y^4 = \frac{1}{2}\,e^{2x} + C.

Passo 5

Para isolar y, extraímos a quarta raiz:
y(x) = \Bigl(\tfrac{1}{2}\,e^{2x} + C\Bigr)^{1/4},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = \bigl(\tfrac{1}{2}\,e^{2x} + C\bigr)^{1/4}.

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