Use a Regra da Substituição para calcular:
\int 2 e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 2e^{x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx
usando a Regra da Substituição. Aqui reconhecemos que dentro do seno aparece e^{x} e sua derivada é proporcional a e^{x}, então faremos uma substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Definimos a substituição
u = e^{x}.
Então
du = e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{x}\,dx = du.
A integral original fica
\int 2e^{x}\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = 2\int \sin(u)\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
2\int \sin(u)\,du = 2\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -2\cos(u)+C.
Voltando à variável original x, temos u=e^{x}.

Resposta

-2\cos\bigl(e^{x}\bigr) + C

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