Calcule as integrais.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
- Pede para calcular a integral indefinida
. - Informações úteis extraídas do enunciado:
- A função a integrar é soma de quatro parcelas:
. - É uma integral indefinida (procura-se uma antiderivada), portanto no final teremos uma constante de integração
.
- A função a integrar é soma de quatro parcelas:
Passo 2
Regra básica que vamos usar: linearidade da integral. Isso diz que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser tiradas para fora da integral. Em fórmulas:
onde
é constante. Aplicando ao nosso caso:
Passo 3
Integral de
.\n
Fato: a função exponencial é especial porque sua derivada é ela mesma; portanto sua primitiva também é
. Formalmente,
Fato: a função exponencial
Usando a regra da constante multiplicativa:
Exemplo rápido:
.
Passo 4
Integral de
.\n
Regra (regra do poder): para ,
Regra (regra do poder): para
Aqui
, então
. Aplicando o fator
:
Exemplo:
.
Passo 5
Integral de
.\n
Fato: a derivada de é
. Isso implica que uma primitiva de
é
, pois derivando
volta-se a
. Assim:
Fato: a derivada de
Exemplo:
(por causa da regra da cadeia).
Passo 6
Integral de
.\n
Fato importante: para ,
Fato importante: para
O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural
só é definido para
, mas a primitiva de
deve valer tanto para
quanto para
; por isso usamos
. Então:
Exemplo:
.
Passo 7
Agora temos as primitivas parciais de cada termo (sem a constante geral). Somando essas primitivas parciais e acrescentando a constante de integração
, obtemos a antiderivada procurada.