Calcule as integrais.
\int\left[3 e^{x}-5 x^{3}+\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{x}\right] d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:\n
  • Pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int\left[3 e^{x}-5 x^{3}+\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{x}\right] d x.
  • Informações úteis extraídas do enunciado:
    • A função a integrar é soma de quatro parcelas: \;3 e^{x},\;-5x^{3},\;\operatorname{sen}(x),\;-\dfrac{1}{x}.
    • É uma integral indefinida (procura-se uma antiderivada), portanto no final teremos uma constante de integração C.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: linearidade da integral. Isso diz que a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser tiradas para fora da integral. Em fórmulas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx, \qquad \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é constante. Aplicando ao nosso caso:
\int\left[3 e^{x}-5 x^{3}+\operatorname{sen}(x)-\frac{1}{x}\right] dx = 3\int e^{x}dx -5\int x^{3}dx + \int \operatorname{sen}(x)dx - \int \frac{1}{x}dx.

Passo 3

Integral de \displaystyle 3\int e^{x}dx.\n
Fato: a função exponencial e^{x} é especial porque sua derivada é ela mesma; portanto sua primitiva também é e^{x}. Formalmente,
\int e^{x}dx = e^{x} + C.
Usando a regra da constante multiplicativa:
3\int e^{x}dx = 3e^{x}.
Exemplo rápido: \int 2e^{x}dx = 2e^{x}.

Passo 4

Integral de \displaystyle -5\int x^{3}dx.\n
Regra (regra do poder): para n\neq -1,
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, então \int x^{3}dx = \dfrac{x^{4}}{4}. Aplicando o fator -5:
-5\int x^{3}dx = -5\cdot\frac{x^{4}}{4} = -\frac{5}{4}x^{4}.
Exemplo: \int x^{2}dx = \dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Integral de \displaystyle \int \operatorname{sen}(x)dx.\n
Fato: a derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x). Isso implica que uma primitiva de \operatorname{sen}(x) é -\cos(x), pois derivando -\cos(x) volta-se a \operatorname{sen}(x). Assim:
\int \operatorname{sen}(x)dx = -\cos(x) + C.
Exemplo: \int \operatorname{sen}(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x) (por causa da regra da cadeia).

Passo 6

Integral de \displaystyle -\int \frac{1}{x}dx.\n
Fato importante: para x\neq 0,
\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C.
O valor absoluto aparece porque o logaritmo natural \ln(x) só é definido para x>0, mas a primitiva de 1/x deve valer tanto para x>0 quanto para x<0; por isso usamos \ln|x|. Então:
-\int \frac{1}{x}dx = -\ln|x|.
Exemplo: \int \frac{3}{x}dx = 3\ln|x|.

Passo 7

Agora temos as primitivas parciais de cada termo (sem a constante geral). Somando essas primitivas parciais e acrescentando a constante de integração C, obtemos a antiderivada procurada.

Resposta

3e^{x}-\frac{5}{4}x^{4}-\cos(x)-\ln|x|+C

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