Seja
a região finita entre o gráfico de
e o eixo
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar
Passo 1
O enunciado dá a curva
e a reta
(eixo
). A região
é a região finita entre o gráfico de
e o eixo
. O que se pede: encontrar o volume do sólido obtido ao girar
em torno da reta
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é
. - O eixo de rotação é
. - A região
é a porção entre a curva e o eixo que é finita (logo existe um intervalo tal que está entre esses e ). - A tarefa: calcular o volume do sólido de revolução formado por girar
em torno de .
Passo 2
Precisamos primeiro determinar os pontos de interseção entre a curva e o eixo
(ou seja, onde
). Resolver:
Fatorando:
As soluções são
(raiz de multiplicidade 2) e
(porque
). Portanto a região finita
está no intervalo
.
É útil confirmar o sinal de
nesse intervalo para saber se a curva está acima do eixo
. Por exemplo, em
:
Logo
em
(a curva está acima do eixo
nesse intervalo). Isso simplifica o método de volume.
Passo 3
Escolhendo o método: para corpos obtidos por girar uma região em torno do eixo
onde a curva está acima do eixo (ou seja, sem “buraco” central), o método dos discos (ou fatias) é natural e simples.
Explicação do método dos discos (mini-aula):
- Imagine cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo
em fixo. A seção transversal é um círculo de raio igual à distância da curva ao eixo de rotação. - Essa fatia fina tem espessura
. O volume aproximado de uma fatia é área da base vezes altura: . - Somando (integrando) todas as fatias de
até obtemos o volume exato. - Portanto, se a função é
em e gira-se em torno de , a fórmula é
Aqui
é o volume,
são os limites em
,
é a função que dá o raio do disco em cada
, e
é a espessura infinitesimal da fatia.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
, e os limites são
,
. Assim o volume é
Passo 5
Agora expandimos o integrando para facilitar a integração. Calcular
:
Portanto
Passo 6
Integramos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando a cada termo:
Uma antiderivada para o integrando é então
Passo 7
Avaliar a integral definida de
a
:
Como
, calculamos
. Primeiro as potências:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Somando (com denominador comum
, por exemplo):
Portanto