Seja R a região finita entre o gráfico de y=x^{2}-2 x^{3} e o eixo x.
Encontre o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=x^{2}-2x^{3} e a reta y=0 (eixo x). A região R é a região finita entre o gráfico de y=x^{2}-2x^{3} e o eixo x. O que se pede: encontrar o volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é y=x^{2}-2x^{3}.
  • O eixo de rotação é y=0.
  • A região R é a porção entre a curva e o eixo x que é finita (logo existe um intervalo [a,b] tal que R está entre esses x=a e x=b).
  • A tarefa: calcular o volume do sólido de revolução formado por girar R em torno de y=0.

Passo 2

Precisamos primeiro determinar os pontos de interseção entre a curva e o eixo x (ou seja, onde y=0). Resolver:
x^{2}-2x^{3}=0.
Fatorando:
x^{2}(1-2x)=0.
As soluções são x=0 (raiz de multiplicidade 2) e x=\tfrac{1}{2} (porque 1-2x=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}). Portanto a região finita R está no intervalo x\in\left[0,\tfrac{1}{2}\right].
É útil confirmar o sinal de y nesse intervalo para saber se a curva está acima do eixo x. Por exemplo, em x=\tfrac{1}{4}:
y=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}-2\left(\tfrac{1}{4}\right)^{3}=\tfrac{1}{16}-2\cdot\tfrac{1}{64}=\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{32}=\tfrac{1}{32}>0.
Logo y\ge0 em \left[0,\tfrac{1}{2}\right] (a curva está acima do eixo x nesse intervalo). Isso simplifica o método de volume.

Passo 3

Escolhendo o método: para corpos obtidos por girar uma região em torno do eixo x onde a curva está acima do eixo (ou seja, sem “buraco” central), o método dos discos (ou fatias) é natural e simples.
Explicação do método dos discos (mini-aula):
  • Imagine cortar o sólido por um plano perpendicular ao eixo x em x fixo. A seção transversal é um círculo de raio igual à distância da curva ao eixo de rotação.
  • Essa fatia fina tem espessura dx. O volume aproximado de uma fatia é área da base vezes altura: \text{área do círculo}\times dx = \pi(\text{raio})^{2}dxáí.
  • Somando (integrando) todas as fatias de x=a até x=b obtemos o volume exato.
  • Portanto, se a função é y=f(x)\ge0 em [a,b] e gira-se em torno de y=0, a fórmula é
V=\pi\int_{a}^{b}[f(x)]^{2}\,dx.
Aqui V é o volume, a,b são os limites em x, f(x) é a função que dá o raio do disco em cada x, e dx é a espessura infinitesimal da fatia.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: f(x)=x^{2}-2x^{3}, e os limites são a=0, b=\tfrac{1}{2}. Assim o volume é
V=\pi\int_{0}^{1/2}\bigl(x^{2}-2x^{3}\bigr)^{2}\,dx.

Passo 5

Agora expandimos o integrando para facilitar a integração. Calcular \bigl(x^{2}-2x^{3}\bigr)^{2}:
\bigl(x^{2}-2x^{3}\bigr)^{2}=x^{4}-4x^{5}+4x^{6}.
Portanto
V=\pi\int_{0}^{1/2}\bigl(x^{4}-4x^{5}+4x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando a cada termo:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5},\qquad \int -4x^{5}\,dx=-4\cdot\frac{x^{6}}{6}=-\frac{2x^{6}}{3},\qquad \int 4x^{6}\,dx=4\cdot\frac{x^{7}}{7}=\frac{4x^{7}}{7}.
Uma antiderivada para o integrando é então
F(x)=\frac{x^{5}}{5}-\frac{2x^{6}}{3}+\frac{4x^{7}}{7}.

Passo 7

Avaliar a integral definida de 0 a \tfrac{1}{2}:
\int_{0}^{1/2}\bigl(x^{4}-4x^{5}+4x^{6}\bigr)\,dx=F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)-F(0).
Como F(0)=0, calculamos F\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Primeiro as potências:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{5}=\tfrac{1}{32},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\tfrac{1}{64},\qquad \left(\tfrac{1}{2}\right)^{7}=\tfrac{1}{128}.
Substituindo:
F\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{32}-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{64}+\frac{4}{7}\cdot\frac{1}{128}.
Simplificando cada termo:
\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{32}=\frac{1}{160},\qquad \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{64}=\frac{1}{96},\qquad \frac{4}{7}\cdot\frac{1}{128}=\frac{1}{224}.
Somando (com denominador comum 3360, por exemplo):
\frac{1}{160}-\frac{1}{96}+\frac{1}{224}=\frac{21-35+15}{3360}=\frac{1}{3360}.
Portanto
\int_{0}^{1/2}\bigl(x^{4}-4x^{5}+4x^{6}\bigr)\,dx=\frac{1}{3360}.

Resposta

\dfrac{\pi}{3360}

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