Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência
converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número conforme
fica maior e maior. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de álgebra e limites. Vamos precisar entender um pouquinho sobre limites de funções e propriedades do seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
cresce. À medida que
aumenta,
fica cada vez menor, se aproximando de 0.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo
. Sabemos que, para valores pequenos de
, o seno de
é aproximadamente igual a
. Isso significa que quando
é bem pequeno,
.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na sequência, temos:
Isso sugere que, conforme
cresce,
se aproxima de 1.
Passo 5
Para confirmar isso rigorosamente, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Fazendo uma substituição
, quando
,
. Então, o limite fica:
Sabemos que
, então o limite da nossa sequência também é 1.
Resposta
A sequência
é convergente, e seu limite é 1.