Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=n sin (1n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a sequência an = n sin(1n) converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número conforme n fica maior e maior. Para resolver isso, vamos usar algumas técnicas de álgebra e limites. Vamos precisar entender um pouquinho sobre limites de funções e propriedades do seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com 1n quando n cresce. À medida que n aumenta, 1n fica cada vez menor, se aproximando de 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o termo sin(1n). Sabemos que, para valores pequenos de x, o seno de x é aproximadamente igual a x. Isso significa que quando 1n é bem pequeno, sin(1n) approx 1n.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na sequência, temos:
an = n cdot sin(1n) approx n cdot 1n = 1
Isso sugere que, conforme n cresce, an se aproxima de 1.

Passo 5

Para confirmar isso rigorosamente, vamos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty n sin(1n)
Fazendo uma substituição x = 1n, quando n to infty, x to 0. Então, o limite fica:
limx to 0 sin(x)x = 1
Sabemos que limx to 0 sin(x)x = 1, então o limite da nossa sequência também é 1.

Resposta

A sequência an = n sin(1n) é convergente, e seu limite é 1.

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