Calcule as integrais iteradas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral1^2!l(integraly^2 x,y ,dxr)dy
O conteúdo aqui é integração iterada (Teorema de Fubini em ordem já dada). Primeiro vamos integrar em x, tratando y como constante, e depois integrar o resultado em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
integraly^2 x,y ,dx
Como y é constante em relação a x, temos
integraly^2 x,y ,dx = yintegraly^2 x,dx = ygl[x^22gr]x=y^x=2 = yl(2^22-y^22r) = y,(4 - y^2)2

Passo 3

Agora integramos em y o resultado do passo anterior:
integral1^2 y,(4 - y^2)2,dy = 12integral1^2 (4y - y^3),dy
Calculemos
integral (4y - y^3),dy = 4cdoty^22 - y^44 = 2y^2 - y^44
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12l[2y^2 - y^44r]1^2 = 12l(l(2cdot2^2-tfrac2^44r)-l(2cdot1^2-tfrac1^44r)r)

Passo 4

Avalie em y=2 e y=1:
2cdot2^2-2^44 = 8-4=4, 2cdot1^2-1^44 =2-14=74
A diferença é 4-tfrac74=tfrac94. Multiplicando por tfrac12 resulta
12cdot94=98

Resposta

integral1^2!l(integraly^2 x,y ,dxr)dy =98

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