Dada a EDO
Resolva a EDO (2) de forma organizada!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Essa é uma EDO de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração e encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma EDO linear. Ou seja, queremos isolar
. Para isso, dividimos todos os termos por
:
Agora, a equação está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Percebe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, usamos integração por partes. Vamos lá:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 6
Voltando à nossa equação:
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é a constante de integração.