Dada a EDO
x^3 d yd x+4 x^2 y=e^-x
Resolva a EDO (2) de forma organizada!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
x^3 d yd x + 4 x^2 y = e^-x
Essa é uma EDO de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração e encontrar a solução para y .

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma EDO linear. Ou seja, queremos isolar d yd x . Para isso, dividimos todos os termos por x^3 :
d yd x + 4x y = e^-xx^3
Agora, a equação está na forma:
d yd x + P(x) y = Q(x)
onde P(x) = 4x e Q(x) = e^-xx^3 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) :
mu(x) = e^integral 4x dx = e^4 ln x = x^4
Então, o fator integrante é x^4 .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^4 :
x^4 d yd x + x^4 cdot 4x y = x^4 cdot e^-xx^3
Simplificando:
x^4 d yd x + 4 x^3 y = x e^-x
Percebe que o lado esquerdo agora é a derivada do produto y cdot x^4 :
ddx (y cdot x^4) = x e^-x

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x :
integral ddx (y cdot x^4) dx = integral x e^-x dx
A integral do lado esquerdo é simplesmente y cdot x^4 . Para a integral do lado direito, usamos integração por partes. Vamos lá:
Escolhemos:
  • u = x Rightarrow du = dx
  • dv = e^-x dx Rightarrow v = -e^-x
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du :
integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C

Passo 6

Voltando à nossa equação:
y cdot x^4 = -x e^-x - e^-x + C
Agora, isolamos y :
y = -x e^-x - e^-x + Cx^4
Podemos simplificar um pouco mais:
y = -(x + 1) e^-xx^4 + Cx^4

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = -(x + 1)x^4 e^-x + Cx^4
onde C é a constante de integração.

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