Determine os valores mañmos e minimos locais e pentos de sela das seguintes funcōes:
(iii)
(iii)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. O conteúdo que vamos usar inclui: (i) cálculo de derivadas parciais para achar os pontos onde
, e (ii) uso da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. Denotando
temos
Passo 3
Para achar os pontos críticos, igualamos
a zero. Como
para todo
, resolvemos
Da segunda equação sai
ou
. Se
a primeira dá
, impossível. Logo
e da primeira vem
. Os pontos críticos são
Passo 4
Agora vamos à Hessiana, isto é, às segundas derivadas:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Avalie em
.
Aqui .
Aqui
Logo
e
, caracterizando máximo local em
.
Em
temos o mesmo
e
portanto
e
, caracterizando mínimo local em
.
Não há outros pontos críticos, logo não há pontos de sela.
Resposta
Máximo local em
com valor
Mínimo local em
com valor
Não existem pontos de sela.