Determine os valores mañmos e minimos locais e pentos de sela das seguintes funcōes:
(iii) f(x, y)=x cdot e^-2 x^2-2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos de
f(x,y)=x,e^-2(x^2+y^2)
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. O conteúdo que vamos usar inclui: (i) cálculo de derivadas parciais para achar os pontos onde nabla f=0, e (ii) uso da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Denotando
g(x,y)=e^-2(x^2+y^2),
temos
partial fpartial x =partialpartial xl(x,gr) =g + xpartial gpartial x =g + xl(-4x,gr) =g,(1-4x^2),
partial fpartial y =x,partial gpartial y =xl(-4y,gr) =-4xy,g

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos nabla f=(fx,fy) a zero. Como g>0 para todo (x,y), resolvemos
1-4x^2=0, -4xy=0
Da segunda equação sai x=0 ou y=0. Se x=0 a primeira dá 1=0, impossível. Logo y=0 e da primeira vem x=pm12. Os pontos críticos são
l(tfrac12,0r) e l(-tfrac12,0r)

Passo 4

Agora vamos à Hessiana, isto é, às segundas derivadas:
fxx=partialpartial xl(g(1-4x^2)r) =4x(4x^2-3),g,
fyy=partialpartial yl(-4xy,gr) =-4x(1-4y^2),g,
fxy=partialpartial yl(g(1-4x^2)r) =-4y(1-4x^2),g
O determinante da Hessiana é
D=fxxfyy-fxy^2

Passo 5

Avalie em l(tfrac12,0r).
Aqui g=e^-2(tfrac14+0)=e^-1/2.
fxx(tfrac12,0) =4cdottfrac12,(4cdottfrac14-3),e^-1/2 =-4,e^-1/2<0,
fyy(tfrac12,0) =-4cdottfrac12,e^-1/2 =-2,e^-1/2<0, fxy(tfrac12,0)=0
Logo
D=(-4,e^-1/2)(-2,e^-1/2)-0=8,e^-1>0
e fxx<0, caracterizando máximo local em l(tfrac12,0r).
Em l(-tfrac12,0r) temos o mesmo g e
fxx(-tfrac12,0)=4,e^-1/2>0, fyy(-tfrac12,0)=2,e^-1/2>0, fxy(-tfrac12,0)=0,
portanto
D=8,e^-1>0
e fxx>0, caracterizando mínimo local em l(-tfrac12,0r).
Não há outros pontos críticos, logo não há pontos de sela.

Resposta

Máximo local em l(tfrac12,0r) com valor
fl(tfrac12,0r) =tfrac12,e^-1/2
Mínimo local em l(-tfrac12,0r) com valor
fl(-tfrac12,0r) =-tfrac12,e^-1/2
Não existem pontos de sela.

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