Dada a EDO Exata
d yd x=-M(x, y)L(x, y), com L(x, y) neq 0
Em que M e L são funções de classe C^1. Mostre que para a EDO dada é verdade que
partial Mpartial y(x, y)=partial Lpartial x(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que precisa ser feito aqui. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata, dada por:
dydx = -M(x, y)L(x, y), com L(x, y) neq 0
Nosso objetivo é mostrar que, para essa EDO, a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de L em relação a x , ou seja:
partial Mpartial y(x, y) = partial Lpartial x(x, y)
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e quais são as condições que ela precisa satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO na forma M(x, y)dx + L(x, y)dy = 0 é chamada de exata se existe uma função potencial Phi(x, y) tal que:
dPhi = M dx + L dy
Isso significa que as derivadas parciais de Phi satisfazem:
partial Phipartial x = M e partial Phipartial y = L

Passo 3

Para que tal função Phi(x, y) exista, as derivadas parciais de M e L devem satisfazer uma condição chamada de condição de exatidão. Essa condição é:
partial Mpartial y = partial Lpartial x
Ou seja, a derivada de M em relação a y deve ser igual à derivada de L em relação a x .

Passo 4

No nosso caso, a EDO foi dada como:
dydx = -M(x, y)L(x, y)
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por L(x, y) e trazendo todos os termos para um lado:
M(x, y)dx + L(x, y)dy = 0
Agora, temos a EDO na forma M dx + L dy = 0 , que é a forma padrão para verificar se a equação é exata.

Passo 5

Aplicando a condição de exatidão que vimos, para essa forma ser exata, deve ser verdade que:
partial Mpartial y = partial Lpartial x
Isso significa que, se a equação diferencial dada é exata, então necessariamente a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de L em relação a x .

Resposta

Portanto, mostramos que para a EDO dada:
partial Mpartial y(x, y) = partial Lpartial x(x, y)

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