Dada a EDO Exata
Em que
e
são funções de classe
. Mostre que para a EDO dada é verdade que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que precisa ser feito aqui. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é exata, dada por:
Nosso objetivo é mostrar que, para essa EDO, a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e quais são as condições que ela precisa satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma EDO ser exata. Uma EDO na forma
é chamada de exata se existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de
satisfazem:
Passo 3
Para que tal função
exista, as derivadas parciais de
e
devem satisfazer uma condição chamada de condição de exatidão. Essa condição é:
Ou seja, a derivada de
em relação a
deve ser igual à derivada de
em relação a
.
Passo 4
No nosso caso, a EDO foi dada como:
Podemos reescrever isso multiplicando ambos os lados por
e trazendo todos os termos para um lado:
Agora, temos a EDO na forma
, que é a forma padrão para verificar se a equação é exata.
Passo 5
Aplicando a condição de exatidão que vimos, para essa forma ser exata, deve ser verdade que:
Isso significa que, se a equação diferencial dada é exata, então necessariamente a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Resposta
Portanto, mostramos que para a EDO dada: