Calcule as integrais iteradas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^2!integraly^2y x,y ,dx,dy
O conteúdo aqui é integração dupla via iteradas: primeiro integramos em x (tratando y como constante) e depois em y.

Passo 2

Para a integral interna, com y fixo, temos
integraly^2y x,y ,dx = y integraly^2y x,dx,
pois y é constante em relação a x.

Passo 3

Calculemos integraly^2y x,dx:
integraly^2y x,dx = x^22|y^2y = (2y)^2 - y^22 = 4y^2 - y^22 = 3y^22
Multiplicando por y, obtemos
integraly^2y x,y ,dx = ycdot 3y^22 = 3y^32

Passo 4

Agora integramos o resultado em y de 0 a 2:
integral0^2 3y^32,dy = 32integral0^2 y^3,dy = 32cdot y^44|0^2 = 32cdot 164 = 32cdot 4 = 6

Resposta

O valor da integral iterada é 6.

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