Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
0 <= x <= 1, 4x <= y <= 4
e depois trocar a ordem de integração. O conteúdo envolve interpretação geométrica de integrais duplas e depois reescrever os limites trocando dx,dy por dy,dx.

Passo 2

Vamos identificar a região D no plano xy. As desigualdades
0 <= x <= 1
e
4x <= y <= 4
dizem que:
  • A reta y=4x passa por (0,0) e (1,4); abaixo dela não está na região.
  • A reta horizontal y=4 é a cota superior.
  • As retas x=0 e x=1 são as cotas esquerda e direita.
    Logo D é o triângulo com vértices (0,0), (0,4) e (1,4).

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, explicamos quais são os limites de
Como (quando ) e o máximo , temos
e para cada fixo, vai de até . Assim a integral trocada fica

Resposta

integral0^1!integral4x^4 f(x,y),dy,dx ;=; integral0^4!integral0^y/4 f(x,y),dx,dy

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