Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração dada por
e depois trocar a ordem de integração. O conteúdo envolve interpretação geométrica de integrais duplas e depois reescrever os limites trocando
por
.
Passo 2
Vamos identificar a região
no plano
. As desigualdades
e
dizem que:
- A reta
passa por e ; abaixo dela não está na região. - A reta horizontal
é a cota superior. - As retas
e são as cotas esquerda e direita.
Logoé o triângulo com vértices , e .
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, explicamos quais são os limites de
Como (quando
) e o máximo
, temos
e para cada
fixo,
vai de
até
. Assim a integral trocada fica