Calcule a integral trocando a ordem de integração.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integraly=0^1integralx=3y^3 e^x^2,dx,dy
e pede para calcular trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para inverter os limites, descrever a região de integração no plano (x,y) e depois calcular a integral resultante.

Passo 2

Vamos descrever a região
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;3y<= x<=3
No plano, para cada y de 0 a 1, x vai de 3y até 3. Se invertermos, x percorre de 0 até 3 (pois, quando y=0, x começa em 0), e para cada x fixo, a condição 3y<= x vira y<= tfracx3. Mantendo também y>=0, obtemos
0<= x<=3, 0<= y<= x3

Passo 3

Pela troca de ordem,
integral0^1integral3y^3 e^x^2,dx,dy = integralx=0^3integraly=0^x/3 e^x^2,dy,dx
Como e^x^2 não depende de y, a integral interna dá
integraly=0^x/3 e^x^2,dy = e^x^2;gl[ygr]0^x/3 = e^x^2;x3
Logo a dupla passa a ser
integral0^3 x3,e^x^2,dx = 13integral0^3 x,e^x^2,dx

Passo 4

Para calcular
integral0^3 x,e^x^2,dx
fazemos a substituição u=x^2, de modo que du=2x,dx ou x,dx=tfrac12du. Quando x vai de 0 a 3, u vai de 0 a 9. Assim,
integral0^3 x,e^x^2,dx = integralu=0^9 e^u,12,du = tfrac12l[e^ur]0^9 = tfrac12l(e^9-1r)
Voltando ao fator tfrac13, a integral original vale
13cdot 12,l(e^9-1r) = e^9-16

Resposta

integral0^1integral3y^3 e^x^2,dx,dy = e^9-16

Exercícios relacionados