Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para calcular trocando a ordem de integração. O conteúdo aqui é usar o Teorema de Fubini para inverter os limites, descrever a região de integração no plano
e depois calcular a integral resultante.
Passo 2
Vamos descrever a região
No plano, para cada
de
a
,
vai de
até
. Se invertermos,
percorre de
até
(pois, quando
,
começa em
), e para cada
fixo, a condição
vira
. Mantendo também
, obtemos
Passo 3
Pela troca de ordem,
Como
não depende de
, a integral interna dá
Logo a dupla passa a ser
Passo 4
Para calcular
fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim,
Voltando ao fator
, a integral original vale