Seja R a região triangular de vértices (0,0),(3,0) e (0,4) do plano x y. Preencha as lacunas das integrais.
(b) Tratando R como uma região do tipo II,
integralegral duplaR f(x, y) d A=integralsquare^square integralsquare^square f(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para preencher as lacunas de uma integral dupla sobre a região triangular R com vértices em (0,0) , (3,0) e (0,4) . Estamos trabalhando com integrais duplas do tipo II, então precisamos definir os limites de integração de acordo com esse tipo. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região R usando limites que variam em termos de x e y .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região triangular R . Os vértices são (0,0) , (3,0) e (0,4) . Isso forma um triângulo com a base no eixo x de x = 0 a x = 3 e altura até y = 4 .

Passo 3

Como estamos tratando R como uma região do tipo II, a integral vai ser integrada primeiro em relação a y e depois em relação a x . Isso significa que para cada valor de x , y varia de uma função inferior a uma função superior.

Passo 4

Vamos determinar os limites para y em termos de x . A linha que conecta (0,0) a (0,4) é vertical, então para cada x entre 0 e 3, y começa em 0 e vai até a linha que conecta (3,0) a (0,4) . A equação dessa linha pode ser encontrada usando a forma da reta:
y = -43x + 4

Passo 5

Agora, organizamos os limites de integração. x varia de 0 a 3, e para cada x , y varia de 0 até -43x + 4 .

Resposta

integral duplaR f(x, y) , dA = integral0^3 integral0^ -43x + 4 f(x, y) , dy , dx

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