Seja
a região triangular de vértices
e
do plano
. Preencha as lacunas das integrais.
(b) Tratando
como uma região do tipo II,
(b) Tratando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para preencher as lacunas de uma integral dupla sobre a região triangular
com vértices em
,
e
. Estamos trabalhando com integrais duplas do tipo II, então precisamos definir os limites de integração de acordo com esse tipo. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região
usando limites que variam em termos de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região triangular
. Os vértices são
,
e
. Isso forma um triângulo com a base no eixo
de
a
e altura até
.
Passo 3
Como estamos tratando
como uma região do tipo II, a integral vai ser integrada primeiro em relação a
e depois em relação a
. Isso significa que para cada valor de
,
varia de uma função inferior a uma função superior.
Passo 4
Vamos determinar os limites para
em termos de
. A linha que conecta
a
é vertical, então para cada
entre 0 e 3,
começa em 0 e vai até a linha que conecta
a
. A equação dessa linha pode ser encontrada usando a forma da reta:
Passo 5
Agora, organizamos os limites de integração.
varia de 0 a 3, e para cada
,
varia de 0 até
.