Calcule as integrais iteradas.
integral-pi / 2^pi / 2 d theta integral0^3 cos (theta) r^2 sen^2(theta) d r

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-pi/2^pi/2 !dtheta ;integral0^3costheta!r^2,sin^2!(theta),dr
Isso é conteúdo de cálculo, mais precisamente integrais iteradas e integração de funções trigonométricas. Para resolver a gente vai usar:
  • A regra de potência para integrar r^2.
  • Propriedades de funções trigonométricas (identidade sin^2+cos^2=1).
  • Substituição simples (no caso u=sintheta).

Passo 2

Primeiro, trata a integral interna em r. Note que sin^2!(theta) é constante em relação a r, então
integral0^3costheta r^2,sin^2!(theta),dr =sin^2!(theta)integral0^3costhetar^2dr
Pela regra de potência integral r^2dr=r^33, avaliando de 0 a 3costheta:
integral0^3costhetar^2dr =[r^33]0^3costheta =(3costheta)^33

Passo 3

Substituindo esse resultado de volta, a integral vira
integral-pi/2^pi/2 sin^2!(theta);(3costheta)^33,dtheta =integral-pi/2^pi/29,sin^2!(theta),cos^3!(theta),dtheta

Passo 4

Perceba que f(theta)=sin^2!theta,cos^3!theta é função par em [-tfracpi2,tfracpi2] (porque sin^2 e cos^3 são pares ali). Logo
integral-pi/2^pi/29,sin^2!theta,cos^3!theta,dtheta =2cdot9integral0^pi/2sin^2!theta,cos^3!theta,dtheta =18integral0^pi/2sin^2!theta,cos^3!theta,dtheta

Passo 5

Agora faz a substituição u=sintheta, daí du=costheta,dtheta e cos^2theta=1-sin^2theta=1-u^2. Temos:
integral0^pi/2sin^2!theta,cos^3!theta,dtheta =integral0^pi/2sin^2!theta,cos^2!theta,costheta,dtheta =integralu=0^1u^2(1-u^2),du =integral0^1(u^2-u^4),du
Integra:
integral0^1(u^2-u^4),du =l[tfracu^33-tfracu^55r]0^1 =tfrac13-tfrac15 =tfrac215

Passo 6

Voltando ao fator 18:
18integral0^pi/2sin^2!theta,cos^3!theta,dtheta =18cdottfrac215 =tfrac3615 =tfrac125

Resposta

O valor da integral iterada é 125

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