O processo de linearização permite obter funções lineares para aproximar funções quaisquer, não lineares, em pontos que estejam na vizinhança.
Esse processo consiste em obter a reta tangente em um ponto conhecido a, a função pode ser avaliada neste ponto facilmente, ou seja,
f(x) approx f(a)+f^prime(a)(x-a)
Analise as opções a seguir e assinale a opção correta para aproximar a função f em pontos próximos do ponto a.
f(x) approx raiz[3]a+1raiz[3]a(x-a)
f(x) approx cos (a3)+[13 sen(a3)](x-a)
f(x) approx a^8+3 a^2(x-a)
f(x) approx sec ^2(a)+tg(a)(x-a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre linearização, que é uma técnica usada para aproximar funções complicadas (não lineares) por funções mais simples, tipo retas, perto de um ponto específico chamado de ponto de linearização. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como encontrar a reta tangente em um ponto conhecido a da função f(x), usando a fórmula:
f(x) approx f(a) + f^prime(a)(x - a)

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da linearização:
f(x) approx f(a) + f^prime(a)(x - a)
Aqui, f(a) é o valor da função no ponto a e f^prime(a) é a derivada da função nesse ponto, que nos dá a inclinação da reta tangente. Basicamente, estamos dizendo que perto de a, a função f(x) se comporta quase como a reta f(a) + f^prime(a)(x - a).

Passo 3

Agora, vamos analisar cada opção e ver qual se encaixa na fórmula da linearização:
  1. Opção 1:
f(x) approx raiz[3]a + 1raiz[3]a(x - a)
Aqui, f(a) = raiz[3]a e f^prime(a) = 1raiz[3]a. Faz sentido se a função original for f(x) = raiz[3]x.
  1. Opção 2:
f(x) approx cos(a3) + [13 sen(a3)](x - a)
Nesse caso, f(a) = cos(a3) e f^prime(a) = 13 sen(a3). Isso seria válido se a função original for f(x) = cos(x3).
  1. Opção 3:
f(x) approx a^8 + 3a^2(x - a)
Aqui, f(a) = a^8 e f^prime(a) = 3a^2. Isso se aplica se a função original for f(x) = x^8.
  1. Opção 4:
f(x) approx sec^2(a) + tg(a)(x - a)
Nesta opção, f(a) = sec^2(a) e f^prime(a) = tg(a). Isso seria correto se a função original fosse f(x) = tan(x), já que a derivada de tan(x) é sec^2(x).

Passo 4

Agora, observando as opções, todas elas representam corretamente a fórmula de linearização para diferentes funções f(x). A pergunta pede para assinalar a opção correta para aproximar a função f em pontos próximos do ponto a. Como todas as opções estão corretas para suas respectivas funções, precisamos saber qual função f(x) está sendo considerada na questão original. Entretanto, como a função f(x) não foi especificada, provavelmente a opção 3 é a resposta esperada pela sua forma mais genérica.

Resposta

Opção 3:
f(x) approx a^8 + 3a^2(x - a)

Exercícios relacionados