Calcule as integrais iteradas.
integral1^2 d x integral0^x^2 e^yx d y

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral iterada
integral1^2!l(integral0^x^2e^tfracyx,dyr),dx
O conteúdo é integração dupla iterada, e vamos usar duas ferramentas:
  1. saber integrar e^y/x tratando x como constante;
  2. fazer uma integral de x,e^x por partes.

Passo 2

Primeiro, calcula a integral interna
integral0^x^2e^tfracyx,dy
Como x é constante nessa etapa, observe que
ddyl(e^y/xr)=1x,e^y/x,
então um antiderivado é
integral e^y/x,dy = x,e^y/x
Avalia de y=0 até y=x^2:
xl(e^,x^2/x-e^,0/xr) = xl(e^x-1r)

Passo 3

Agora substitui esse resultado na integral externa:
integral1^2xl(e^x-1r),dx = integral1^2x,e^x,dx ;-;integral1^2x,dx
Para integral x,e^x,dx, usa integração por partes:
  • Escolhe u=x e dv=e^x,dx.
  • Então du=dx e v=e^x.
    Fica
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x = e^x(x-1)
Logo,
integral1^2x,e^x,dx =l[e^x(x-1)r]1^2 = e^2,(2-1);-;e^1,(1-1) = e^2
E
integral1^2x,dx =l[tfracx^22r]1^2 = tfrac42-tfrac12 = tfrac32
Juntando tudo:
integral1^2x(e^x-1),dx = e^2 - tfrac32

Resposta

boxede^2 - tfrac32

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