Esboce a região de integração que corresponde as integrais abaixo e reescreva-as invertendo a ordem de integração.
Passo 1
Então, a questão nos dá a integral dupla
e pede para inverter a ordem de integração.
Matéria: cálculo II, integrais duplas e mudança de ordem.
O que vamos precisar:
Matéria: cálculo II, integrais duplas e mudança de ordem.
O que vamos precisar:
- Desenhar a região
no plano . - Traduzir “para cada
” quais valores de valem. - Usar as desigualdades que definem
:
Passo 2
Esboçando
:
- A curva
é uma parábola de “lado”. - A reta
é uma linha inclinada. - As retas horizontais
e .
No papel fica uma “fita” limitada à esquerda pela parábola e à direita pela reta, deaté .
Passo 3
Qual o intervalo total de
?
- Em
, a parábola dá . - Em
, a reta dá .
Logo, globalmente.
Passo 4
Para um
fixo,
tem que satisfazer simultaneamente:
Logo, em cada
,
Passo 5
Dependendo de
, qual das funções domina?
- Se
: -
, então . -
, então .
→vai de a .
-
- Se
: -
→ . -
→ .
→vai de a .
-
- Se
: -
→ . -
→ .
→vai de a .
-
Passo 6
Juntando tudo, a ordem invertida fica como soma de três integrais em
: