Esboce a região de integração que corresponde as integrais abaixo e reescreva-as invertendo a ordem de integração.
integral0^1 d y integraly^2^y+2 f(x, y) d x

Passo 1

Então, a questão nos dá a integral dupla
integraly=0^1!integralx=y^2^y+2f(x,y),dx,dy
e pede para inverter a ordem de integração.
Matéria: cálculo II, integrais duplas e mudança de ordem.
O que vamos precisar:
  • Desenhar a região R no plano xy.
  • Traduzir “para cada x” quais valores de y valem.
  • Usar as desigualdades que definem R:
0<= y<=1, y^2<= x<= y+2

Passo 2

Esboçando R:
  1. A curva x=y^2 é uma parábola de “lado”.
  2. A reta x=y+2 é uma linha inclinada.
  3. As retas horizontais y=0 e y=1.
    No papel fica uma “fita” limitada à esquerda pela parábola e à direita pela reta, de y=0 até y=1.

Passo 3

Qual o intervalo total de x?
  • Em y=0, a parábola dá x=0^2=0.
  • Em y=1, a reta dá x=1+2=3.
    Logo, globalmente 0<= x<=3.

Passo 4

Para um x fixo, y tem que satisfazer simultaneamente:
0<= y<=1, y^2<= x(Longrightarrow y<=raizx), x<= y+2(Longrightarrow y>= x-2)
Logo, em cada x,
max0,;x-2;<=;y;<=;min1,;raizx

Passo 5

Dependendo de x, qual das funções domina?
  1. Se 0<= x<=1:
    • x-2<= -1, então max0,x-2=0.
    • raizx<=1, então min1,raizx=raizx.
      y vai de 0 a raizx.
  2. Se 1<= x<=2:
    • x-2<=0 max0,x-2=0.
    • raizx>=1 min1,raizx=1.
      y vai de 0 a 1.
  3. Se 2<= x<=3:
    • x-2>=0 max0,x-2=x-2.
    • raizx>=raiz2>1 min1,raizx=1.
      y vai de x-2 a 1.

Passo 6

Juntando tudo, a ordem invertida fica como soma de três integrais em x:
integralx=0^1!integraly=0^raizxf(x,y),dy,dx ;+; integralx=1^2!integraly=0^1f(x,y),dy,dx ;+; integralx=2^3!integraly=x-2^1f(x,y),dy,dx

Resposta

boxed integral0^1!integral0^raizxf(x,y),dy,dx ;+; integral1^2!integral0^1f(x,y),dy,dx ;+; integral2^3!integral,x-2^1f(x,y),dy,dx

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