Calcule as integrais iteradas abaixo:
(a) integral1^3 integral0^1 1+4 x y d x d y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral iterada . Estamos trabalhando com integrais duplas, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos calcular primeiro a integral interna em relação a e depois a integral externa em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral interna . Isso significa que vamos integrar a função em relação a , mantendo constante.

Passo 3

Integrando integral 1 , dx = x em relação a integral 4xy , dx = 4y integral x , dx = 4y ( x^22 ) = 2y x^2 , temos:
Agora, integrando em relação a :

Passo 4

Somando as duas integrais, a integral interna fica:
integral0^1 (1 + 4xy) , dx = [ x + 2y x^2 ]0^1
Agora, substituímos os limites de integração:
Para 1 + 2y (1)^2 = 1 + 2y :
0 + 2y (0)^2 = 0
Para (1 + 2y) - 0 = 1 + 2y :
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora que temos o resultado da integral interna, nosso próximo passo é calcular a integral externa:
integral1^3 (1 + 2y) , dy
Isso significa que vamos integrar em relação a no intervalo de 1 a 3.

Passo 6

Integrando integral 1 , dy = y em relação a integral 2y , dy = 2 cdot y^22 = y^2 :
Integrando em relação a :

Passo 7

Somando as duas integrais, a integral externa fica:
integral1^3 (1 + 2y) , dy = [ y + y^2 ]1^3
Substituindo os limites de integração:
Para 3 + (3)^2 = 3 + 9 = 12 :
1 + (1)^2 = 1 + 1 = 2
Para 12 - 2 = 10 :
Então, a integral externa resulta em:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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