Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e o objetivo é expandi-la usando a série binomial. A série binomial é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a expandir expressões do tipo
quando
. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a função para encaixar nesse formato e aplicar a fórmula da série binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar deixar a função numa forma que se pareça mais com
. Olha só:
Podemos fatorar o 4 de dentro do denominador:
Agora, nossa função está na forma:
Passo 3
Agora, vamos usar a série binomial para expandir
. A fórmula geral da série binomial é:
Aqui,
e
será
. Então, a expansão fica:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes binomiais
. A fórmula para coeficientes binomiais com expoente negativo é:
Então, substituindo na série:
Passo 5
Agora, juntando tudo com o
que tínhamos no começo:
Podemos simplificar um pouco mais a expressão:
Passo 6
Por fim, podemos escrever a série completa:
Resposta
A expansão da função
usando a série binomial é: