Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: f(x) = 1/((4 + 2 x)^(3))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e o objetivo é expandi-la usando a série binomial. A série binomial é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a expandir expressões do tipo quando . Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a função para encaixar nesse formato e aplicar a fórmula da série binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar deixar a função numa forma que se pareça mais com . Olha só:
Podemos fatorar o 4 de dentro do denominador:
Agora, nossa função está na forma:

Passo 3

Agora, vamos usar a série binomial para expandir . A fórmula geral da série binomial é:
Aqui, e será . Então, a expansão fica:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes binomiais . A fórmula para coeficientes binomiais com expoente negativo é:
Então, substituindo na série:

Passo 5

Agora, juntando tudo com o que tínhamos no começo:
Podemos simplificar um pouco mais a expressão:

Passo 6

Por fim, podemos escrever a série completa:

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:

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