Determine a ordem das EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y' = 1 + y^2, y = tan(x + c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para determinar a ordem de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e, além disso, verificar se uma função específica é uma solução dessa EDO. A equação que nos deram é:
E a função a ser verificada é:
Aqui, c é uma constante arbitrária. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a ordem de uma EDO e como verificar se uma função é solução de uma EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a ordem de uma EDO. A ordem de uma EDO é o maior grau da derivada presente na equação. No nosso caso, a equação é:
Aqui, a única derivada presente é , que é a primeira derivada de y em relação a x. Como a maior derivada é a primeira, a ordem da EDO é 1.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função dada, , é uma solução da EDO . Para isso, vamos substituir y na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x. Então,
A derivada de em relação a x é , onde . Como c é uma constante, .
Portanto,
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona e :
Aplicando isso, temos:
Mas lembre-se que , então . Substituindo na identidade:
Isso nos mostra que:
Portanto, a função satisfaz a equação diferencial dada.

Resposta

A EDO é de primeira ordem e a função é uma solução dessa equação.

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