Determine a ordem das EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução (
são constantes arbitrárias).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para determinar a ordem de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e, além disso, verificar se uma função específica é uma solução dessa EDO. A equação que nos deram é:
E a função a ser verificada é:
Aqui,
é uma constante arbitrária. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a ordem de uma EDO e como verificar se uma função é solução de uma EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a ordem de uma EDO. A ordem de uma EDO é o maior grau da derivada presente na equação. No nosso caso, a equação é:
Aqui, a única derivada presente é
, que é a primeira derivada de
em relação a
. Como a maior derivada é a primeira, a ordem da EDO é 1.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função dada,
, é uma solução da EDO
. Para isso, vamos substituir
na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Então,
A derivada de
em relação a
é
, onde
. Como
é uma constante,
.
Portanto,
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
e
:
Aplicando isso, temos:
Mas lembre-se que
, então
. Substituindo na identidade:
Isso nos mostra que:
Portanto, a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Resposta
A EDO
é de primeira ordem e a função
é uma solução dessa equação.