Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expandir a função
usando a série binomial. Isso envolve conhecimentos de álgebra e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a série binomial para funções com expoentes fracionários.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a aplicação da série binomial. Podemos fatorar o 4 da seguinte forma:
Assim, isolamos um termo que se encaixa no formato
, onde
e
.
Passo 3
A série binomial para
é dada por:
onde o coeficiente binomial
é calculado por:
Passo 4
Aplicando isso à nossa função, temos:
Multiplicando pelo
que fatoramos no Passo 2, a expansão fica:
Passo 5
Vamos calcular os primeiros termos para ilustrar a expansão:
Calculando os coeficientes:
Então:
Resposta
A expansão em série de potências de
utilizando a série binomial é:
Ou de forma geral: