Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: f(x)=(4-x)^(2/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expandir a função usando a série binomial. Isso envolve conhecimentos de álgebra e séries de potências. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a série binomial para funções com expoentes fracionários.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a aplicação da série binomial. Podemos fatorar o 4 da seguinte forma:
Assim, isolamos um termo que se encaixa no formato , onde e .

Passo 3

A série binomial para é dada por:
onde o coeficiente binomial é calculado por:

Passo 4

Aplicando isso à nossa função, temos:
Multiplicando pelo que fatoramos no Passo 2, a expansão fica:

Passo 5

Vamos calcular os primeiros termos para ilustrar a expansão:
Calculando os coeficientes:
Então:

Resposta

A expansão em série de potências de utilizando a série binomial é:
Ou de forma geral:

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