Calcule as integrais iteradas.
(a)
integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x-y) d x d y d z
(b) integral0^1 integraly^2 y integral0^x+y 6 x y d z d x d y
(c) integral0^pi2 integral0^y integral0^x cos (x+y+z) d z d x d y
(d) integral0^pi integral0^1 integral0^raiz1-z^2 z sen(x) d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integração iterada que você enviou! A parte (a) do exercício é a seguinte:
integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x - y) , dx , dy , dz
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função em três variáveis, seguindo os limites de integração fornecidos para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. A integral está organizada na ordem dx , depois dy , e por último dz . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a x , depois em y , e por último em z .
Vamos começar integrando a função 2x - y em relação a x no intervalo de 0 a y - z .
A integral de 2x - y em relação a x é:
integral (2x - y) , dx = x^2 - yx + C
Agora, aplicamos os limites de x de 0 a y - z :
[ x^2 - yx ]0^y - z = (y - z)^2 - y(y - z) - (0 - 0) = (y^2 - 2yz + z^2) - (y^2 - yz) = -yz + z^2

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na integral de y :
integral0^z^2 (-yz + z^2) , dy
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para -yz :
integral -yz , dy = -z integral y , dy = -z ( y^22 ) = -z y^22
  1. Para z^2 :
integral z^2 , dy = z^2 y
Agora, aplicamos os limites de y de 0 a z^2 :
[ -z y^22 + z^2 y ]0^z^2 = ( -z (z^2)^22 + z^2 (z^2) ) - (0 + 0) = -z^52 + z^4

Passo 4

Agora, substituímos o resultado na última integral, em relação a z :
integral0^2 ( -z^52 + z^4 ) , dz
Vamos integrar termo a termo:
  1. Para -z^52 :
integral -z^52 , dz = -12 integral z^5 , dz = -12 ( z^66 ) = -z^612
  1. Para z^4 :
integral z^4 , dz = z^55
Agora, aplicamos os limites de z de 0 a 2 :
[ -z^612 + z^55 ]0^2 = ( -6412 + 325 ) - (0 + 0) = -163 + 325

Passo 5

Agora, vamos calcular a expressão final:
-163 + 325 = -8015 + 9615 = 1615

Resposta

O valor da integral iterada é boxeddfrac1615.

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