Calcule integralC d x-d y, onde C tem por imagem x^2+y^2=4, x >= 0 e y >= 0; sendo o sentido de percurso de (2,0) para (0,2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da 1-forma omega=dx-dy ao longo de C, que é o arco de círculo dado por x^2+y^2=4 no primeiro quadrante, orientado de (2,0) a (0,2). Usaremos parametrização de curvas e substituiremos dx e dy.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t,
com t variando de 0 a tfracpi2. Então
dx = x'(t),dt = -2sin t,dt,
dy = y'(t),dt = 2cos t,dt

Passo 3

Substituindo em omega=dx-dy obtemos o integrando em t:
dx-dy = l(-2sin t - 2cos tr),dt = -2l(sin t + cos tr),dt
Assim a integral torna-se
integralCdx-dy = integral0^pi/2 -2l(sin t + cos tr),dt

Passo 4

Calculemos
integral0^pi/2 -2(sin t + cos t),dt = -2l[-cos t + sin tr]0^pi/2 = -2l[(0+1)-(-1+0)r] = -2cdot 2 = -4

Resposta

-4

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