Calcule as integrais iteradas.
$(d)
$(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me mandou. A questão pede para calcular
. Aqui, estamos trabalhando com integrais iteradas, que são usadas para calcular áreas ou volumes sob superfícies quando temos duas variáveis. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é
. Nessa parte,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
. A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar porque vamos calcular um valor definido.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de
a
:
Passo 5
Agora que temos o resultado da integral interna, vamos passar para a integral externa:
Aqui, vamos integrar
em relação a
.
Passo 6
Integramos
em relação a
. A integral de
é
, então:
Mais uma vez, ignoramos a constante de integração porque a integral é definida.
Passo 7
Vamos agora avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a 2:
Resposta
A integral dupla
é igual a
.