Determine se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a integral imprópria
converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais que têm limites infinitos, então vamos precisar entender um pouco sobre limites e comportamento de funções no infinito para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
quando
vai para o infinito. Para facilitar, vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
no denominador:
À medida que
cresce,
e
vão para zero, então a função se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
Sabemos que a integral de
de 1 até o infinito converge se
e diverge se
. No nosso caso, a função é similar a
, onde
, que é maior que 1. Isso sugere que nossa integral pode convergir.
Passo 4
Para confirmar, vamos calcular a integral imprópria:
Fazendo uma substituição
, temos
, mas isso complica um pouco. Em vez disso, podemos usar a comparação direta com
. Como
para
, e sabemos que
converge, pela comparação, nossa integral também converge.
Resposta
A integral
converge.