Determine se as integrais impróprias abaixo convergem ou divergem:
(d) integral0^+infty xx^3+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a integral imprópria converge ou diverge. Isso está ligado ao estudo de integrais que têm limites infinitos, então vamos precisar entender um pouco sobre limites e comportamento de funções no infinito para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função xx^3+1 = xx^3x^3x^3 + 1x^3 = 1x^21 + 1x^3 quando vai para o infinito. Para facilitar, vamos dividir o numerador e o denominador por , que é a maior potência de no denominador:
À medida que cresce, e vão para zero, então a função se comporta aproximadamente como .

Passo 3

Sabemos que a integral de de 1 até o infinito converge se e diverge se . No nosso caso, a função é similar a , onde , que é maior que 1. Isso sugere que nossa integral pode convergir.

Passo 4

Para confirmar, vamos calcular a integral imprópria:
integral0^+infty xx^3+1 dx = limb to +infty integral0^b xx^3+1 dx
Fazendo uma substituição , temos , mas isso complica um pouco. Em vez disso, podemos usar a comparação direta com . Como para , e sabemos que converge, pela comparação, nossa integral também converge.

Resposta

A integral converge.

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