Calcule as integrais iteradas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2}\left(4 x^{3}-9 x^{2} y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}\bigl(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo é integral dupla via integração iterada: primeiro em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Integramos em y:
\int_{0}^{2}\bigl(4x^{3}-9x^{2}y^{2}\bigr)\,dy =4x^{3}\int_{0}^{2}dy \;-\;9x^{2}\int_{0}^{2}y^{2}\,dy =4x^{3}\cdot2 \;-\;9x^{2}\cdot\frac{2^{3}}{3} =8x^{3}-9x^{2}\cdot\frac{8}{3} =8x^{3}-24x^{2}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}\bigl(8x^{3}-24x^{2}\bigr)\,dx =8\int_{0}^{1}x^{3}\,dx \;-\;24\int_{0}^{1}x^{2}\,dx =8\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}-24\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} =2-8 =-6.

Resposta

O valor da integral iterada é -6.

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