Calcule as integrais iteradas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{3} e^{x+2 y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{3} e^{x+2y}\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é integração dupla em retângulo e usaremos a regra de Fubini, ou seja, integrar primeiro em x (internamente) e depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{3} e^{x+2y}\,dx.
Como y é parâmetro, escrevemos e^{x+2y}=e^{2y}e^{x}. Logo,
\int_{0}^{3} e^{2y}e^{x}\,dx = e^{2y}\int_{0}^{3} e^{x}\,dx = e^{2y}\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{3} = e^{2y}\bigl(e^{3}-1\bigr).

Passo 3

Agora integramos o resultado em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1} e^{2y}\bigl(e^{3}-1\bigr)\,dy = \bigl(e^{3}-1\bigr)\int_{0}^{1} e^{2y}\,dy.
Para \int_{0}^{1} e^{2y}\,dy fazemos a primitiva de e^{2y}, que é \tfrac{1}{2}e^{2y}. Assim,
\int_{0}^{1} e^{2y}\,dy = \left[\tfrac{1}{2}e^{2y}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr).

Passo 4

Multiplicando os fatores obtidos,
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{3} e^{x+2y}\,dx\,dy = \bigl(e^{3}-1\bigr)\cdot \tfrac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr) = \frac{\bigl(e^{3}-1\bigr)\bigl(e^{2}-1\bigr)}{2}.

Resposta

\frac{\bigl(e^{3}-1\bigr)\bigl(e^{2}-1\bigr)}{2}.

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