Calcule as integrais iteradas
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^{3}} d y d x \quad \text { e } \quad \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^{3}} d x d y . \quad \text { Resp. } \frac{1}{2} \text { e }-\frac{1}{2}
As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as duas integrais iteradas
I_{1}=\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{0}^{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,dy\Bigr]dx \quad\text{e}\quad I_{2}=\int_{0}^{1}\Bigl[\int_{0}^{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,dx\Bigr]dy
e depois verificar se os resultados I_{1}=\tfrac12 e I_{2}=-\tfrac12 contradizem o Teorema de Fubini.
Conteúdo usado: integração imprópria, mudança de variável t=x+y e condições de aplicação de Fubini.

Passo 2

Calcular
I_{1}(x)=\int_{0}^{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,dy.
Fazendo t=x+y, dy=dt, quando y=0\Rightarrow t=x, y=1\Rightarrow t=x+1, e x-y=2x-t. Assim
I_{1}(x)=\int_{t=x}^{x+1}\frac{2x-t}{t^{3}}\,dt =\int_{x}^{x+1}\bigl(2x\,t^{-3}-t^{-2}\bigr)\,dt.
Integrando:
\int2x\,t^{-3}dt=-x\,t^{-2}, \quad \int(-t^{-2})dt=+t^{-1},
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I_{1}(x)=\Bigl[-\frac{x}{t^{2}}+\frac{1}{t}\Bigr]_{t=x}^{t=x+1} =-\frac{x}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{x+1} -\Bigl(-\frac{x}{x^{2}}+\frac{1}{x}\Bigr) =\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Finalmente
I_{1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx =\Bigl[-\frac{1}{x+1}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{1}{2}+1 =\frac12.

Passo 3

Calcular
J(y)=\int_{0}^{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,dx.
Com a mesma troca t=x+y, vai de t=y a t=y+1 e x-y=t-2y, obtém-se
J(y)=\int_{y}^{y+1}\frac{t-2y}{t^{3}}\,dt =\int_{y}^{y+1}\bigl(t^{-2}-2y\,t^{-3}\bigr)\,dt =\Bigl[-\frac{1}{t}+\frac{y}{t^{2}}\Bigr]_{y}^{y+1} =-\frac{1}{(y+1)^{2}}.
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I_{2}=\int_{0}^{1}J(y)\,dy =-\int_{0}^{1}\frac{1}{(y+1)^{2}}\,dy =-\Bigl[-\frac{1}{y+1}\Bigr]_{0}^{1} =-\Bigl(-\tfrac12+1\Bigr) =-\frac12.

Passo 4

O Teorema de Fubini garante igualdade da integral dupla e das duas integrais iteradas se a função for absolutamente integrável no retângulo. Aqui
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl|\tfrac{x-y}{(x+y)^{3}}\bigr|\,dx\,dy
diverge devido à singularidade em (0,0) (comportamento \sim 1/r^{2} em coordenadas polares). Como \int|f|=\infty, não há convergência absoluta e Fubini não se aplica. Por isso a ordem de integração afeta o resultado, sem contradizer o teorema.

Resposta

I_{1}=\tfrac12 e I_{2}=-\tfrac12.
Não há contradição com o Teorema de Fubini porque f(x,y)=(x-y)/(x+y)^{3} não é absolutamente integrável em [0,1]^{2}.

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