\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^{3}} d y d x \quad \text { e } \quad \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x-y}{(x+y)^{3}} d x d y . \quad \text { Resp. } \frac{1}{2} \text { e }-\frac{1}{2}
As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as duas integrais iteradas
e depois verificar se os resultados I_{1}=\tfrac12 e I_{2}=-\tfrac12 contradizem o Teorema de Fubini.
Conteúdo usado: integração imprópria, mudança de variável t=x+y e condições de aplicação de Fubini.
Passo 2
Calcular
I_{1}(x)=\int_{0}^{1}\frac{x-y}{(x+y)^{3}}\,dy.
Fazendo t=x+y, dy=dt, quando y=0\Rightarrow t=x, y=1\Rightarrow t=x+1, e x-y=2x-t. Assim
diverge devido à singularidade em (0,0) (comportamento \sim 1/r^{2} em coordenadas polares). Como \int|f|=\infty, não há convergência absoluta e Fubini não se aplica. Por isso a ordem de integração afeta o resultado, sem contradizer o teorema.
Resposta
I_{1}=\tfrac12 e I_{2}=-\tfrac12.
Não há contradição com o Teorema de Fubini porque f(x,y)=(x-y)/(x+y)^{3} não é absolutamente integrável em [0,1]^{2}.