Calcule as seguintes integrais duplas:
(a) Calcule \iint_{D} x y d x d y, onde D=\left\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq \sqrt{x}\right\}.
Resp. (a) \frac{1}{12}.
(b) \iint_{D}\left(x^{2}-2 x y\right) d x d y, onde D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, \sqrt{x} \leq y \leq 2-x\}.
Resp. (b) -\frac{19}{42}.
(c) \iint_{D} e^{x / y} d x d y, onde D=\left\{(x, y): 1 \leq y \leq 2, y \leq x \leq y^{3}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais duplas sobre regiões planas D. O conteúdo principal é o uso de integrais iteradas, escolhendo a ordem correta de integração e aplicando primitivas simples. Vamos em cada item expressar a integral como iterada e calcular passo a passo.

Passo 2

Para (a) temos
\iint_{D} x\,y\,dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=x^2}^{\sqrt{x}}x\,y\,dy\Bigr)dx.
Dentro de \displaystyle\int_{x^2}^{\sqrt{x}}x\,y\,dy podemos fatorar x:
\int_{x^2}^{\sqrt{x}}x\,y\,dy = x\int_{x^2}^{\sqrt{x}}y\,dy = x\left[\tfrac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{y=\sqrt{x}} = \frac{x}{2}\bigl(x - x^4\bigr).
Logo a integral externa é
\int_{0}^{1}\frac{x}{2}\bigl(x - x^4\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^5\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^6}{6}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{6}\Bigr) =\frac{1}{12}.

Passo 3

Para (b) escrevemos
\iint_{D}(x^2-2xy)\,dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=\sqrt{x}}^{2-x}(x^2-2x\,y)\,dy\Bigr)dx.
Calculemos a integral interna:
\int_{\sqrt{x}}^{2-x}(x^2-2x\,y)\,dy =x^2\bigl[(2-x)-\sqrt{x}\bigr] -2x\bigl[\tfrac{y^2}{2}\bigr]_{y=\sqrt{x}}^{y=2-x}.
Isso simplifica para
2x^2 -x^3 -x^{5/2} -x\bigl((2-x)^2 - x\bigr) =-4x+7x^2-2x^3 -x^{5/2}.
Finalmente,
\int_{0}^{1}\bigl(-4x+7x^2-2x^3 -x^{5/2}\bigr)\,dx =-2+\tfrac{7}{3}-\tfrac12-\tfrac{2}{7} =\,-\frac{19}{42}.

Passo 4

Para (c) a região é 1\le y\le2, y\le x\le y^3. Escolhemos
\iint_{D}e^{x/y}\,dx\,dy =\int_{y=1}^{2}\Bigl(\int_{x=y}^{y^3}e^{x/y}\,dx\Bigr)dy.
Como \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x/y}\bigr)=e^{x/y}, temos
\int_{x=y}^{y^3}e^{x/y}\,dx =y\bigl[e^{x/y}\bigr]_{x=y}^{x=y^3} =y\bigl(e^{y^2}-e\bigr).
Logo
\int_{1}^{2}y\bigl(e^{y^2}-e\bigr)\,dy =\int_{1}^{2}y\,e^{y^2}\,dy -e\int_{1}^{2}y\,dy.
Com t=y^2 vem \int y\,e^{y^2}dy=\tfrac12e^{y^2}, e \int_{1}^{2}y\,dy=\tfrac32. Assim
\int_{1}^{2}y\,e^{y^2}\,dy =\frac{e^{4}-e}{2}, \quad \int_{1}^{2}y\,dy=\frac{3}{2},
de onde
\iint_{D}e^{x/y}\,dx\,dy =\frac{e^{4}-e}{2}-e\cdot\frac{3}{2} =\frac{e^{4}-4e}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{1}{12}.
(b) \displaystyle -\frac{19}{42}.
(c) \displaystyle \frac{e^{4}-4e}{2}.

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