Determine a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy
e pede (1) determinar a região de integração D em termos de (x,y) e (2) trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é reconhecimento da região no plano e aplicação de inequações para inverter a ordem.

Passo 2

A região D é formada por todos os pares (x,y) tais que
0 \le y \le 1, \quad y^{2} \le x \le \sqrt{y}.
Em outras palavras, D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;y^{2}\le x\le\sqrt{y}\bigr\}.

Passo 3

Para inverter a ordem, primeiro achamos o intervalo de x. Nas fronteiras de D, as curvas se cruzam onde
y^{2} = \sqrt{y} \;\Longrightarrow\; y^{4}=y \;\Longrightarrow\; y=0\text{ ou }y=1.
Nesses pontos x=y^2 vale x=0 ou x=1. Logo
0 \le x \le 1.

Passo 4

Dado um x fixo em [0,1], y deve satisfazer simultaneamente
y^{2}\le x \quad\Longrightarrow\quad y\le \sqrt{x},
e
x\le \sqrt{y} \quad\Longrightarrow\quad y\ge x^{2}.
Como y\ge0, concluímos
x^{2}\le y\le \sqrt{x}.

Passo 5

Assim, trocando a ordem da integral, percorremos primeiro y de x^{2} a \sqrt{x} e depois x de 0 a 1. A integral fica
\int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

A região de integração é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^{2}\le y\le\sqrt{x}\},
e a integral com ordem trocada é
\int_{0}^{1}\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y)\,dy\,dx.

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