Determine a região de integração
e troque a ordem de integração das seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
e pede (1) determinar a região de integração
em termos de
e (2) trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é reconhecimento da região no plano e aplicação de inequações para inverter a ordem.
Passo 2
A região
é formada por todos os pares
tais que
Em outras palavras,
Passo 3
Para inverter a ordem, primeiro achamos o intervalo de
. Nas fronteiras de
, as curvas se cruzam onde
Nesses pontos
vale
ou
. Logo
Passo 4
Dado um
fixo em
,
deve satisfazer simultaneamente
e
Como
, concluímos
Passo 5
Assim, trocando a ordem da integral, percorremos primeiro
de
a
e depois
de
a
. A integral fica
Resposta
A região de integração é
e a integral com ordem trocada é