Exercs. 61-64: Use o Teorema (2.15) para verificar o limite.
62 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4 x^{2}+7}}=0
(Sugestão: Use f(x)=0 e g(x)=|x|.)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • A função é h(x)=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}}.
  • A sugestão do enunciado é usar f(x)=0 e g(x)=|x| (provavelmente para aplicar o Teorema (2.15), que é o Teorema do Confronto / Sanduíche).

Passo 2

Objetivo claro: mostrar que
\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}}=0.
Estratégia informativa (sem resolver ainda): usar uma desigualdade do tipo
0 \le \frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}} \le \text{algo que tenda a }0
e então aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 3

Propriedade do valor absoluto e positividade do denominador:
  • Para todo x vale |x|\ge 0, então o numerador é não-negativo.
  • O radicando x^{4}+4x^{2}+7 é sempre positivo, pois x^{4}\ge 0, 4x^{2}\ge 0 e 7>0. Logo a raiz quadrada está bem definida e é positiva para todo x.
    Portanto existe a desigualdade elementar
0 \le \frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}}
para todo x.

Passo 4

Encontrar uma cota superior simples para a fração. Observação fácil:
x^{4}+4x^{2}+7 \ge 7 \quad\text{para todo }x,
porque x^{4} e 4x^{2} são não-negativos. Assim
\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7} \ge \sqrt{7} > 0.
Dividindo por essa quantidade positiva, obtemos
\frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}} \le \frac{|x|}{\sqrt{7}}.
Como \sqrt{7}>1, também vale
\frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}} \le |x|.
Essa última desigualdade é a que liga a sugestão g(x)=|x|: para todo x
0 \le \frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}} \le |x|.

Passo 5

Lembrando o Teorema do Confronto (Teorema (2.15)) em palavras: se para x próximos de a temos
f(x)\le h(x)\le g(x)
e
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=L,
então \lim_{x\to a}h(x)=L.
Aqui podemos escolher f(x)=0, h(x)=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}} e g(x)=|x|. Já mostramos que para todo x
0=f(x)\le h(x)\le g(x)=|x|.

Passo 6

Calcular os limites das funções extremas quando x\to 0:
\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}0=0, \qquad \lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}|x|=0.
Como os dois limites são iguais a 0, pelo Teorema do Confronto obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{\sqrt{x^{4}+4x^{2}+7}}=0.

Passo 7

Comentário didático rápido e exemplo adicional (para fixar a ideia): a chave foi encontrar duas funções que “prendem” a função alvo por cima e por baixo e que têm o mesmo limite em 0. Outro exemplo simples: para mostrar \lim_{x\to 0}x^{2}\sin(1/x)=0 usa-se
-|x|^{2}\le x^{2}\sin(1/x)\le |x|^{2}
e nota-se que ambos os lados tendem a 0.

Resposta

0

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