Exercs. 61-64: Use o Teorema (2.15) para verificar o limite.
62
(Sugestão: Use
e
.)
62
(Sugestão: Use
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- A função é
. - A sugestão do enunciado é usar
e (provavelmente para aplicar o Teorema (2.15), que é o Teorema do Confronto / Sanduíche).
Passo 2
Objetivo claro: mostrar que
Estratégia informativa (sem resolver ainda): usar uma desigualdade do tipo
e então aplicar o Teorema do Confronto.
Passo 3
Propriedade do valor absoluto e positividade do denominador:
- Para todo
vale , então o numerador é não-negativo. - O radicando
é sempre positivo, pois , e . Logo a raiz quadrada está bem definida e é positiva para todo .
Portanto existe a desigualdade elementar
para todo
.
Passo 4
Encontrar uma cota superior simples para a fração. Observação fácil:
porque
e
são não-negativos. Assim
Dividindo por essa quantidade positiva, obtemos
Como
, também vale
Essa última desigualdade é a que liga a sugestão
: para todo
Passo 5
Lembrando o Teorema do Confronto (Teorema (2.15)) em palavras: se para
próximos de
temos
e
então
.
Aqui podemos escolher
,
e
. Já mostramos que para todo
Passo 6
Calcular os limites das funções extremas quando
:
Como os dois limites são iguais a
, pelo Teorema do Confronto obtemos
Passo 7
Comentário didático rápido e exemplo adicional (para fixar a ideia): a chave foi encontrar duas funções que “prendem” a função alvo por cima e por baixo e que têm o mesmo limite em
. Outro exemplo simples: para mostrar
usa-se
e nota-se que ambos os lados tendem a
.