Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=2 y x^{3}+x y^{2}-x+2 y

Passo 1

O enunciado pede que eu determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função
f(x,y)=2\,y\,x^{3}+x\,y^{2}-x+2\,y.
As perguntas que preciso responder são:
  • Quais são as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}?
  • Quais são as derivadas parciais de segunda ordem \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}?

Passo 2

Conceito e regras que vou usar (aulas rápidas):
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada da função considerando y como constante. Ou seja, quando eu diferencio em relação a x trato y como um número fixo.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é calculada tratando x como constante.
  • Regras úteis:
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
    • Regra do produto (quando necessário): \dfrac{d}{dx}(u(x)\,v(x))=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x). No caso de derivada parcial, aplica-se tratando a outra variável como constante.
  • Como f é polinomial em x e y, posso derivar termo a termo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} (derivada parcial em relação a x, com y constante).
Começo da função:
f(x,y)=2\,y\,x^{3}+x\,y^{2}-x+2\,y.
Derivo cada termo em relação a x:
  • Para 2\,y\,x^{3}: aqui 2y é constante (pois y é tratado como fixo), então aplico a regra do poder: \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(2\,y\,x^{3}\bigr)=2\,y\cdot 3x^{2}=6\,y\,x^{2}.
  • Para x\,y^{2}: y^{2} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\bigr)=y^{2}.
  • Para -x: \dfrac{\partial}{\partial x}(-x)=-1.
  • Para 2\,y: termo independente de x, derivada zero: \dfrac{\partial}{\partial x}(2\,y)=0.
Somando os resultados:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=6\,y\,x^{2}+y^{2}-1.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} (derivada parcial em relação a y, com x constante).
Parto da mesma função:
f(x,y)=2\,y\,x^{3}+x\,y^{2}-x+2\,y.
Derivo termo a termo em relação a y:
  • Para 2\,y\,x^{3}: agora x^{3} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(2\,y\,x^{3}\bigr)=2\,x^{3}.
  • Para x\,y^{2}: x é constante e uso regra do poder em y^{2}: \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\bigr)=x\cdot 2y=2\,x\,y.
  • Para -x: independente de y, derivada zero: \dfrac{\partial}{\partial y}(-x)=0.
  • Para 2\,y: \dfrac{\partial}{\partial y}(2\,y)=2.
Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2\,x^{3}+2\,x\,y+2.

Passo 5

Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Vou derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
Começo por \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (derivo \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x):
A expressão que já tenho é
\dfrac{\partial f}{\partial x}=6\,y\,x^{2}+y^{2}-1.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
  • Para 6\,y\,x^{2}: 6y é constante, aplica regra do poder: \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(6\,y\,x^{2}\bigr)=6\,y\cdot 2x=12\,x\,y.
  • Para y^{2}-1: são constantes em x, derivada zero.
    Portanto
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=12\,x\,y.

Passo 6

Calcular as mistas e a \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Primeiro \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}: derivo \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y.
Parto de
\dfrac{\partial f}{\partial x}=6\,y\,x^{2}+y^{2}-1.
Derivando em relação a y (agora x constante):
  • Para 6\,y\,x^{2}: derivada é 6\,x^{2}.
  • Para y^{2}: derivada é 2y.
  • -1 dá 0.
    Logo
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6\,x^{2}+2\,y.
Agora \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}: derivo \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a x.
Parto de
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2\,x^{3}+2\,x\,y+2.
Derivando em relação a x (com y constante):
  • Para 2\,x^{3}: derivada 6x^{2}.
  • Para 2\,x\,y: 2y (pois y é constante).
  • Para 2: 0.
    Resultado:
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6\,x^{2}+2\,y.
Percebe que \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}, como esperado para funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).
Por fim, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}: derivo \dfrac{\partial f}{\partial y} em relação a y.
De
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2\,x^{3}+2\,x\,y+2,
derivando em relação a y:
  • 2\,x^{3} é constante → 0.
  • 2\,x\,y 2x.
  • 2 → 0.
    Logo
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2\,x.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=6\,y\,x^{2}+y^{2}-1
\dfrac{\partial f}{\partial y}=2\,x^{3}+2\,x\,y+2
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=12\,x\,y
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6\,x^{2}+2\,y
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6\,x^{2}+2\,y
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2\,x

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