Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função dada. As informações fornecidas são:
- A função
As perguntas que preciso responder são:
- Quais são as derivadas parciais de primeira ordem
e ? - Quais são as derivadas parciais de segunda ordem
, , e ?
Passo 2
Conceito e regras que vou usar (aulas rápidas):
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada da função considerando como constante. Ou seja, quando eu diferencio em relação a trato como um número fixo. - Analogamente,
é calculada tratando como constante. - Regras úteis:
- Regra do poder:
. - Regra do produto (quando necessário):
. No caso de derivada parcial, aplica-se tratando a outra variável como constante.
- Regra do poder:
- Como
é polinomial em e , posso derivar termo a termo.
Passo 3
Calcular
(derivada parcial em relação a
, com
constante).
Começo da função:
Derivo cada termo em relação a
:
- Para
: aqui é constante (pois é tratado como fixo), então aplico a regra do poder: - Para
: é constante, então - Para
: - Para
: termo independente de , derivada zero:
Somando os resultados:
Passo 4
Calcular
(derivada parcial em relação a
, com
constante).
Parto da mesma função:
Derivo termo a termo em relação a
:
- Para
: agora é constante, então - Para
: é constante e uso regra do poder em : - Para
: independente de , derivada zero: - Para
:
Somando:
Passo 5
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Vou derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
Começo por
(derivo
em relação a
):
A expressão que já tenho é
A expressão que já tenho é
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
- Para
: é constante, aplica regra do poder: - Para
: são constantes em , derivada zero.
Portanto
Passo 6
Calcular as mistas e a
.
Primeiro
: derivo
em relação a
.
Parto de
Parto de
Derivando em relação a
(agora
constante):
- Para
: derivada é . - Para
: derivada é . -
dá 0.
Logo
Agora
: derivo
em relação a
.
Parto de
Parto de
Derivando em relação a
(com
constante):
- Para
: derivada . - Para
: (pois é constante). - Para
: 0.
Resultado:
Percebe que
, como esperado para funções suficientemente suaves (teorema de Clairaut).
Por fim,
: derivo
em relação a
.
De
De
derivando em relação a
:
-
é constante → 0. -
→ . -
→ 0.
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