Esboce a região D, mude a ordem de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{\frac{x}{y}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}e^{\frac{x}{y}}\,dy\,dx
esboçando primeiro a região
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le1\},
depois mudando a ordem de integração e enfim computando o valor numérico. Para isso vamos usar geometria simples de regiões planas e antiderivadas em uma única variável.

Passo 2

A região D no plano (x,y) é o triângulo abaixo da reta y=1, acima da reta y=x e à direita de x=0. Em palavras:
  • x varia de 0 até 1.
  • Para cada x, y vai de y=x até y=1.
Esboçando, traçamos o quadrado unitário [0,1]\times[0,1], marcamos a reta y=x e tomamos a parte acima dela até y=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, descrevemos D em função de y:
  • y varia do mínimo y=0 (que só ocorre em x=0, mas isso não afeta a integral) até y=1.
  • Para cada y fixo, x varia de x=0 até a reta x=y.
Logo a integral com ordem trocada é
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y} e^{\frac{x}{y}} \,dx\,dy.

Passo 4

Dentro dessa nova ordem, primeiro integramos em x. A antiderivada de e^{x/y} em relação a x, lembrando que y é constante, é
\int e^{\frac{x}{y}}\,dx = y\,e^{\frac{x}{y}}.
Aplicando os limites de x=0 a x=y
\Bigl[y\,e^{\frac{x}{y}}\Bigr]_{x=0}^{x=y} = y\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = y\,(e-1).

Passo 5

Agora a integral reduz-se a
\int_{0}^{1} y\,(e-1)\,dy = (e-1)\int_{0}^{1}y\,dy = (e-1)\,\frac{1}{2}.

Resposta

\frac{e-1}{2}.

Exercícios relacionados