Esboce a região
, mude a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
esboçando primeiro a região
depois mudando a ordem de integração e enfim computando o valor numérico. Para isso vamos usar geometria simples de regiões planas e antiderivadas em uma única variável.
Passo 2
A região
no plano
é o triângulo abaixo da reta
, acima da reta
e à direita de
. Em palavras:
-
varia de até . - Para cada
, vai de até .
Esboçando, traçamos o quadrado unitário
, marcamos a reta
e tomamos a parte acima dela até
.
Passo 3
Para inverter a ordem, descrevemos
em função de
:
-
varia do mínimo (que só ocorre em , mas isso não afeta a integral) até . - Para cada
fixo, varia de até a reta .
Logo a integral com ordem trocada é
Passo 4
Dentro dessa nova ordem, primeiro integramos em
. A antiderivada de
em relação a
, lembrando que
é constante, é
Aplicando os limites de
a
dá
Passo 5
Agora a integral reduz-se a