Calcule as integrais iteradas. integral-2^0 integral-1^2(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada de . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que ajudam a encontrar o volume sob uma superfície em um intervalo específico. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos dividir a integral interna em duas partes:
integral-1^2 x^2 dx + integral-1^2 y^2 dx

Passo 4

Calculando a primeira parte: x^33 |-1^2 = 2^33 - (-1)^33 = 83 - (-13) = 93 = 3 .
A antiderivada de é , então:

Passo 5

Agora, calculando a segunda parte: y^2 cdot (2 - (-1)) = y^2 cdot 3 = 3y^2 .
Como é constante em relação a , a integral é:

Passo 6

Somando as duas partes da integral interna:
3 + 3y^2 = 3(1 + y^2)

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral-2^0 3(1 + y^2) dy de 3 integral-2^0 (1 + y^2) dy a :
Podemos fatorar o 3:

Passo 8

Calculando a integral:
3 [ integral-2^0 1, dy + integral-2^0 y^2 dy ]
A antiderivada de 3 [ y |-2^0 + y^33 |-2^0 ] é , e a de é :

Passo 9

Substituindo os limites:
3 [ (0 - (-2)) + ( 0^33 - (-2)^33 ) ] = 3 [ 2 + ( 0 - (-83) ) ] = 3 [ 2 + 83 ]

Passo 10

Somando os valores dentro do colchete:
2 + 83 = 63 + 83 = 143
Multiplicando pelo 3:
3 cdot 143 = 14

Resposta

O valor da integral iterada é .

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