Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada de . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que ajudam a encontrar o volume sob uma superfície em um intervalo específico. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna: . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 3
Vamos dividir a integral interna em duas partes:
Passo 4
Calculando a primeira parte: .
A antiderivada de é , então:
Passo 5
Agora, calculando a segunda parte: y^2 cdot (2 - (-1)) = y^2 cdot 3 = 3y^2 .
Como é constante em relação a , a integral é:
Passo 6
Somando as duas partes da integral interna:
3 + 3y^2 = 3(1 + y^2)
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral-2^0 3(1 + y^2) dy de 3 integral-2^0 (1 + y^2) dy a :
Podemos fatorar o 3:
Passo 8
Calculando a integral:
3 [ integral-2^0 1, dy + integral-2^0 y^2 dy ]
A antiderivada de 3 [ y |-2^0 + y^33 |-2^0 ] é , e a de é :