Calcule as integrais iteradas. integralpi / 2^pi integral1^2 x cos x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada: .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que faz parte do estudo de cálculo integral. Precisamos integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a . Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: x integral1^2 cos(x y) , dy .
Como é uma constante em relação a , podemos tratá-lo como um fator constante durante essa integração. Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral cos(x y) , dy = sin(x y)x + C em relação a .
A integral de em relação a é , onde é uma constante.
Neste caso, , então:

Passo 4

Aplicando os limites de integração de x [ sin(x y)x ]1^2 = x ( sin(2 x)x - sin(x)x ) a sin(2 x) - sin(x) :
Simplificando, os se cancelam:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integralpi / 2^pi ( sin(2 x) - sin(x) ) dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integralpi / 2^pi sin(2 x) , dx - integralpi / 2^pi sin(x) , dx

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, integral sin(2 x) , dx = -cos(2 x)2 + C :
A integral de em relação a é .
Então:
Segundo, .

Passo 7

Aplicando os limites de -cos(2 x)2 |pi / 2^pi = -cos(2 pi)2 + cos(pi)2 = -12 + (-1)2 = -12 - 12 = -1 a -cos(x) |pi / 2^pi = -cos(pi) + cos(pi2) = -(-1) + 0 = 1 + 0 = 1 :
Para :
Para :

Passo 8

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
-1 - 1 = -2

Resposta

O valor da integral iterada é .

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