Calcule as integrais iteradas:
integral0^1 integral1^s^2 cos (s^3) d t d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral iterada
integrals=0^1integralt=1^s^2cos!l(s^3r),dt,ds
Isso cai em Cálculo de integrais iteradas: primeiro a gente integra em (mantendo fixo) e depois em . Para isso, precisamos saber que se a função não depende de , ela sai da integral em ; e depois vamos usar substituição para lidar com uma integral em .

Passo 2

Integral interna em integralt=1^s^2cos(s^3),dt :
cos(s^3),l[tr]t=1^t=s^2 =cos(s^3),l(s^2-1r)
Como integral0^1l(s^2-1r)cos(s^3),ds não tem , trata ela como constante e fica
Logo a integral dupla vira

Passo 3

Agora vamos resolver
integral0^1(s^2-1),cos(s^3),ds
Separa em duas partes:
integral0^1s^2cos(s^3),ds ;-; integral0^1cos(s^3),ds

Passo 4

  1. Para u = s^3, du = 3s^2,ds Longrightarrow s^2,ds = tfrac13,du , use a substituição
integral s^2cos(s^3),ds =13integralcos(u),du =13sin(u) =13sin(s^3)
Fica
  1. não tem primitiva elementar simples, então a gente deixa como está.

Passo 5

Voltando aos limites de l[tfrac13sin(s^3)r]0^1 =13sin(1)-13sin(0) =13sin(1) a , a primeira parte dá
Aí sobra subtrair .

Resposta

integral0^1!integral1^s^2cos(s^3),dt,ds ;=; 13,sin(1) ;-; integral0^1cosl(s^3r),ds

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