Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integraly integralD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral dupla
x = raiz4 - y^2
onde é a região limitada pelo semicírculo
e pelo eixo (que aqui é o eixo , isto é, a parte do disco de raio 2 com ).
Conteúdo da matéria: mudança para coordenadas polares e cálculo de integrais.
O que vamos precisar:
  • Saber que em coordenadas polares , e .
  • Identificar os limites de e .
  • Resolver a integral em e em .

Passo 2

Vamos descrever 0 <= r <= 2 em polares.
A condição -tfracpi2 ;<=;theta;<=;tfracpi2 vira simplesmente
Como queremos só a “metade direita” do disco (porque é o semicírculo à direita), isso equivale a

Passo 3

Substituímos tudo na integral:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA =integraltheta=-pi/2^pi/2!integralr=0^2 e^-r^2;(r,dr,dtheta)
Aqui usamos que e que o elemento de área é .

Passo 4

Vamos fazer a integral interna em integral0^2 e^-r^2,r,dr :
integral0^2 e^-r^2,r,dr = integralu=0^4 e^-u,tfrac12,du = tfrac12l[-e^-ur]0^4 = tfrac12l(1 - e^-4r)
Fazemos a substituição , então ou .
Quando , ; quando , .

Passo 5

Agora voltamos à integral em integral-pi/2^pi/2 l[tfrac12(1-e^-4)r],dtheta = tfrac12(1-e^-4) cdot l(thetar)-pi/2^pi/2 = tfrac12(1-e^-4)cdotl(pi/2 - (-pi/2)r) = tfrac12(1-e^-4)cdotpi :

Resposta

boxedintegral duplaD e^-x^2-y^2,dA = pi2,l(1 - e^-4r)

Exercícios relacionados